Matematické Fórum

FlyingMonkey · 29. 01. 2012 11:05

Dobrý den )

Dokažte, že pro všechna přirozená čísla n platí:

4|(2n^2+2n)

Prvně dokazuju pro n = 1 to platí.

Pak si za n dosadím k+1
$2(k+1)^2+2(k+1) = 2k^2+6k+4$

Ale tady si nevím rady =) Ten člen 6k mi to tam plete... Díky za pomoc

zdenek1 · 29. 01. 2012 11:09

↑ FlyingMonkey:
$2(k^2+3k+2)=2(k+1)(k+2)$
$k+1$ a $k+2$ jsou dvě za sebou jdoucí přirozená čísla, z nichž je dno je vždy sudé.

FlyingMonkey · 29. 01. 2012 11:26

Díky :)

Můžu se zeptat jenom na úpravu, $2(k^2+3k+2)=2(k+1)(k+2)$ , podle čeho, jak a proč? :)

Takže tím už je to dokázané? Stačí nám dokázat, že je to sudé číslo? .) Já myslel, že to budeme muset ještě trochu upravit, třeba 22 je sudé číslo, ale dělitelné 4 není ... Myslel jsem, že tam bude ještě nějaká podmínka, díky!

To znaménko 4|...
znamená, že výraz (...) je dělitelný 4, že?

Díky

FlyingMonkey · 29. 01. 2012 11:31

Ještě jsem to zkusil teďka takhle, přišlo mi to jednodušší a pro mě o něco snadnější :)
Můžu to takhle vyřešit?

$2(k+1)^2+2(k+1) =2k^2+4k+2+2k+2 = (2k^2+2k) + 4(k+1)$

V posledním výrazu máme první člen předpoklad a druhý je zřejmě dělitelný 4, tím bych považoval důkaz za dokončený?

Díky :)

byk7 · 29. 01. 2012 11:34 — Editoval byk7 (29. 01. 2012 11:36)

↑ FlyingMonkey:

indukční kroky tu v podstatě nejsou ani potřebné, platí totiž $2n^2+2n=2n(n+1)$
jedno z čísel $n$ , $n+1$ je určitě sudé, proto bude výraz $2n(n+1)$ dělitelný vždy čtyřmi

z výrazu $2(k+1)^2+2(k+1)$ vytkneš $2(k+1)$ a dostaneš $2(k+1)\big((k+1)+1\big)=2(k+1)(k+2)$

ano... $a|b$ znamená, že číslo $a$ dělí $b$

Edit:
↑ FlyingMonkey:

ano, to už je správný důkaz pomocí indukce