Matematické Fórum

etchie · 26. 01. 2012 21:27

Opäť sa jedná o úlohy na derivácie zo zbierky úloh.

v úlohách sa pri výpočte overuje, či ide o lokálne maximum alebo minimum:
napr. strana 64
Jelikož na intervalu $\left(-\infty,\frac{400}{4+\pi}\right)$ je funkce S´(x) rostoucí a na intervalu $\left(\frac{400}{4+\pi},+\infty\right)$ je S´(x) klesající, má funkce S(x) v hodnotě 400/(pi+4) své maximum.
derivácia je $S'(x)=100-\frac{x(\pi+4)}{4}$ a z nej viem vyčísliť druhú deriváciu.

V prípadoch, kde je výsledkom úlohy konkrétne číslo, sa mi zdá lepšie urobiť teda ešte druhú deriváciu a na jej základe určiť, či ide o minimum alebo maximum. Môžem to teda overovať takto t.j. druhou deriváciou ?

Ak výsledkom úlohy nie je číslo, ale nejaký nevyčíslený výraz, tak tu si už nie som taký istý
napr. strana 66
Jelikož na intervalu $(-\infty, \sqrt[3]{a^2b})$ je funkce l´(x) klesající a na intervalu $(\sqrt[3]{a^2b},+\infty)$ je l´(x) rostoucí, má funkce l(x) v hodnotě $\sqrt[3]{a^2b}$ své minimum.

derivácia z tohto príkladu je $l'(x)=\frac{x^3-a^2b}{x^2\sqrt{x^2+a^2}}$

Druhá derivácia mi však už nič nepovie, lebo výsledkom nie je číslo (aspoň sa mi vidí, že nie je).
Akým spôsobom potom zistím, že funkcia je naozaj v jednej celej polovici intervalu klesajúca a v druhej zas rastúca ?
Definícia rastúcej a klesajúcej funkcie, kde pre každé $x>x_0 \Rightarrow f(x)>f(x_0)$ resp. $x>x_0 \Rightarrow f(x)<f(x_0)$ mi tu nejako nepomáha. Ako to mám overiť pre celý nekonečný interval ?

ďakujem za rady

jardofpr

↑ etchie:

môžeš to zisťovať aj druhou deriváciou, ale nemusíš vždy dostať odpoveď,
môže sa stať že vyjde aj druhá derivácia rovná 0, a potom to budeš musieť buď derivovať znova,
kým nenatrafíš na nejakú nenulovú deriváciu, čo môźe trvať dlho, alebo aj tak použiť tú metódu, ktorú používajú v tvojej zbierke..
užitočnejšie sa mi zdá určovať to teda pomocou znamienok (vo všeobecnosti)
to sa týka aj úlohy zo strany 66

okrem toho zrovna tento príklad tam riešia s chybami
po nájdení derivácie a nulového bodu píšu

veta v červenom rámčeku (aj ten obrázok nad ňou) je blbosť

definičný obor derivácie funkcie (ako funkcie l'(x)) je podmnožinou definičného oboru pôvodnej funkcie
funkcia $l(x)=\sqrt{x^2+a^2}\bigg(1+\frac{b}{x}\bigg)$ nie je definovaná v bode $x=0$ a preto tam
nemôže byť definovaná ani jej derivácia (to je vidno aj z menovateľa derivácie ako je tam opísaná)
a tieto fakty treba by vyšetrovaní priebehu funkcie (kam zisťovanie extrémov rozhodne patrí) vždy brať do úvahy
okrem toho, z prvej derivácie zistíme či je klesajúca alebo rastúca funkcia $l(x)$ , nie funkcia $l'(x)$ ,
funkcia môže byť záporná a pritom kľudne rastúca, a podobne ..
toľko k tomu červenému rámčeku

okrem toho je funkcia l(x) do svojej podoby zostavená len pre $x,y>0$ a v ďalšom riešení by sa k nej malo tak aj pristupovať

ďalším faktom je že sa by sa táto úloha ako aplikácia derivácie na tento problém mala riešiť pre $a,b>0$ čo tam tiež nikde nie je spomenuté
(nebudeme predsa brať do úvahy kanály s nulovou alebo zápornou šírkou)

začínať by sa malo teda s hľadaním extrému funkcie
$l(x)=\sqrt{x^2 + a^2}\bigg(1+\frac{b}{x}\bigg) \,,\, \quad\textrm{kde} \quad a,b>0\,,\, x > 0$

prvá derivácia a jej nulový bod budú potom
$l'(x)=\frac{x^3-a^2b}{x^2\sqrt{x^2 + a^2}} \,,\, x_{0}=\sqrt[3]{a^2b}$

ak by si chcel druh extrému zisťovať z druhej derivácie
$f''(x)=\frac{a^2(2a^2b+x^2(3b+x))}{x^3(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}$

keďže $a,b>0$ , na intervale $x \in (0,\infty)$ platí $f''(x)>0$
a keďže $\sqrt[3]{a^2b} \in (0,\infty)$ je aj $f''(x_{0}) >0$
a funkcia $f(x)$ má v bode $x_{0} = \sqrt[3]{a^2b}$ lokálne minimum

etchie · 29. 01. 2012 11:44

↑ jardofpr:

mohol by si mi ukázať ako na to pomocou "užitočnejšie sa mi zdá určovať to teda pomocou znamienok (vo všeobecnosti)" ?

$x,y,a,b>0$ podmienka mi dosť pomohla v uvažovaní pre tento konkrétny prípad. Neviem sa však prehrýzť cez situáciu kedy by v druhej derivácii neboli samé kládné znamienka, ale by sa to miešalo kladné a záporné. Vtedy zrejme neviem rozhodnúť, či výsledok je kladný, nulový alebo záporný. Lebo neviem vyčísliť hodnoty a, b. Je to tak ?

ďakujem

jardofpr

↑ etchie:

keď sa to nedá určiť jednoznačne, malo by to ísť aspoň určiť v závislosti na parametroch a,b
ale to by sa zrejme nemalo stávať pri týchto slovných úlohách

čo sa týka toho určovania extrému pomocou prvej derivácie,
zisťuje sa, aké má znamienko derivácia naľavo od nulového bodu a napravo od nulového bodu,

ozn $x_{0}$ nulový bod derivácie, teda $f'(x_{0}) = 0$
1.)ak je $f'(x)<0$ pre $x<x_{0}$ a $f'(x)>0$ pre $x>x_{0}$ funkcia f(x) má v bode $x_{0}$ ostré lokálne minimum
2.)ak je $f'(x)>0$ pre $x<x_{0}$ a $f'(x)<0$ pre $x>x_{0}$ funkcia f(x) má v bode $x_{0}$ ostré lokálne minimum
3.)ak je znamienko derivácie na oboch stranách bodu $x_0$ rovnaké, funkcia v tom bode nemá extrém

Pozn.
(existencia (obojstrannej) derivácie funkcie f v bode $x_{0}$ zaručuje, že $x_{0}$ okrem toho že patrí do def.oboru f je aj hromadným bodom definičného oboru funkcie f, a teda exisuje nejaký otvorený interval $I\subset D(f)$ tak, že $x_0$ je jeho vnútorným bodom
uvedené 1)2)3) platí pre $x \in I$ )