Matematické Fórum

McJobs · 27. 01. 2012 20:12 — Editoval McJobs (27. 01. 2012 20:16)

Zdravim, potreboval by som poradit s upravou tychto dvoch integralov. Ako sa takyto typ integralu upravuje, resp. ako ho dostat do podoby, aby sa to dalo zintegrovat napr. cez parcialne zlomky.

Vdaka

$\int_{}^{}\frac{dx}{(x^{7}+x^{5})}$

$\int_{}^{}\frac{dx}{(x^{3}+1)}$

jardofpr · 27. 01. 2012 21:19

↑ McJobs:

prvý len upravíš na $x^{5}(x^2+1)$ v menovateli
a druhý upravíš menovateľ podľa vzorca $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

McJobs · 28. 01. 2012 09:15

OK vdaka, takze po uprave to mam rozlozit cez parcialne zlomky takto, alebo to je hlupost co som napisal ? :(

$\int_{}^{}\frac{AX+B}{x^{5}}+\frac{CX+D}{x^{4}}+\frac{EX+F}{x^{3}}+\frac{GX+H}{x^{2}}+\frac{IX+J}{x}+\frac{KX+L}{(x^{2}+1)}$

$\int_{}^{}\frac{A}{(a+b)}+\frac{BX+C}{(a^{2}-ab+b^{2})}$

jardofpr · 28. 01. 2012 11:02

↑ McJobs:

ten druhý by mal byť ok (akurát že miesto a tam bude x a miesto b bude 1, to si dúfam náhodou takto zapísal :))

v tom prvom budeš mať výraz typu $Kx+L$ iba nad $x^2+1$ ,
ostatné budú len konštanty v čitateli ;-)

McJobs · 28. 01. 2012 13:40 — Editoval McJobs (28. 01. 2012 13:41)

OK, cize takto to je spravne ?

$\int_{}^{}\frac{dx}{(x^{7}+x^{5})} = \int_{}^{}\frac{dx}{x^{5}(x^{2}+1)} =$

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{D}{x^4} + \frac{E}{x^5} + \frac{Fx+G}{(x^2+1)}$

$1 = Ax^{4}(x^{2}+1) + Bx^{3}(x^{2}+1) + Cx^{2}(x^{2}+1) + Dx(x^{2}+1) + E(x^{2}+1) + (Fx+G) (x^{5})$

$1 = A(x^{6}+x^{4}) + B(x^{5}+x^{3}) + C(x^{4}+x^{2}) + D(x^{3}+x) + E(x^{2}+1) + Fx^{6} + Gx^{5}$

$1 = (A+F)x^{6} + (B+G)x^{5} + (A+C)x^{4} + (B+D)x^{3} + (C+E)x^{2} + Dx + E$

$1 = E$
$0 = D$
$0 = E+C \Rightarrow C = -1$
$0 = B+D \Rightarrow B = 0$
$0 = A+C \Rightarrow A = 1$
$0 = B+G \Rightarrow G = 0$
$0 = A+F \Rightarrow F = -1$

dosadim

$\int_{}^{}\frac{1}{x} + \int_{}^{}\frac{0}{x^{2}} + \int_{}^{}\frac{-1}{x^{3}} +\int_{}^{}\frac{0}{x^{4}} +\int_{}^{}\frac{1}{x^{5}} +\int_{}^{}\frac{-x}{x^{2}+1}$

$= \int_{}^{}\frac{1}{x} + \int_{}^{}\frac{-1}{x^{3}} +\int_{}^{}\frac{1}{x^{5}} - {\frac{1}{2}}\int_{}^{}\frac{2x}{x^{2}+1}$

jardofpr · 28. 01. 2012 13:49

↑ McJobs:

jj, takto by ti to malo vyjsť

McJobs · 29. 01. 2012 12:35

OK, vdaka za pomoc, mam este poslednu otazku. Ked som rozlozil ten druhy integral, a vypocital A,B,C, a dosadil cisla tak mi vyslo:

$\int_{}^{}\frac{1}{x+1} + \int_{}^{}\frac{-x}{x^{2}-x+1}$

ten prvy rozlozim podla vzorca

$\int_{}^{}\frac{1}{x+1} = ln |x+1|$

ale s tou druhou castou si neviem rady $\int_{}^{}\frac{-x}{x^{2}-x+1}$ :(

jardofpr · 29. 01. 2012 13:06

↑ McJobs:

ten rozklad nie je dobre,
spočítaj ho znova

McJobs · 29. 01. 2012 15:35 — Editoval McJobs (29. 01. 2012 15:37)

OK, skusil som to znova

$\int_{}^{}\frac{dx}{(x^{3}+1)} = \int_{}^{}\frac{dx}{(x+1)(x^{2}-x+1)} =\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}-x+1}$

$1 = A(x^{2}-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

$1 = Ax^{2}-Ax+A+Bx^{2}+Bx+Cx+C$

$1 = (A+C) + (A+B)x^{2} + (B+C-A)x$

$A+B=0$
$A+C=1$
$B+C-A=0\Rightarrow B=A-C$
____________________________________________________
$2A-C=0$
$A+C=1$
____________________________________________________
$3A=1$
$A=\frac{1}{3}$
____________________________________________________
$\frac{1}{3}+B=0$
$B=-\frac{1}{3}$
____________________________________________________
$-\frac{1}{3}+C-\frac{1}{3}=0$
$C=\frac{2}{3}$

dosadim

$\int_{}^{}\frac{\frac{1}{3}}{x+1} + \int_{}^{}\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^{2}-x+1}$

prvu cast zintegrujem

$\frac{1 }{3}ln |x+1|$

ale to druhe netusim.

jardofpr

↑ McJobs:

najprv vytiahni konštantu (1/3) z čitateľa pred integrál
ako to potom bude vyzerať?

McJobs · 29. 01. 2012 15:52 — Editoval McJobs (29. 01. 2012 15:52)

takto

$\frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{1}{x+1} + \int_{}^{}\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^{2}-x+1}$

jardofpr · 29. 01. 2012 16:01

↑ McJobs:

z toho druhého som myslel :)
ten prvý máš už vyriešený

McJobs · 29. 01. 2012 16:11

$-\frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{\frac{}{}x+\frac{2}{3}}{x^{2}-x+1}$

jardofpr · 29. 01. 2012 16:42

↑ McJobs:

si si istý že to je dobre?

McJobs · 29. 01. 2012 17:23

fu, neviem, co som pozeral priklady, co sme pocitali, tak konstantu s minusom dal dopredu, a v zlomku sa nic nezmenilo. Konkretne:

$\int_{}^{}\frac{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{x^{2}+1} dx \Rightarrow -\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{\frac{}{}x+\frac{1}{2}}{x^{2}+1} dx$

jardofpr

↑ McJobs:

kto????????????

ale toto by si si mohol vedieť sám overiť že je to blbosť takto upravovať zlomok,
to je stredoškolská látka

McJobs · 29. 01. 2012 17:50 — Editoval McJobs (29. 01. 2012 17:54)

ten s kým sme mali cvičenia

$\int_{}^{}\frac{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{x^{2}+1} dx \Rightarrow -\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{\frac{}{}x+\frac{1}{2}}{x^{2}+1} dx$

rozdelil to na dva zlomky, prvy upravil na ln, a druhy na arctg

$-\frac{1}{4}\int_{}^{}\frac{\frac{}{}2x}{x^{2}+1} dx + \frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}+1}dx = -\frac{1}{4}ln(x^{2}+1)+\frac{1}{2}arctgx + c$

niekde treba zmenit znamienka, v čitateli ?

$-\frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{\frac{}{}-x-\frac{2}{3}}{x^{2}-x+1}$

jardofpr

↑ McJobs:

ten rozklad na dva integrály je ok, ale ten medzikrok čo píšeš v prvej rovnici je blbosť,
predstav si úpravu toho zlomku bez integrálu, to akože ide? predsa

$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(x-1)$ a $\frac{a.b}{c}=a\cdot \frac{b}{c}$

McJobs · 30. 01. 2012 21:16

cize

$\int_{}^{}\frac{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{x^{2}+1} dx= -\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{\frac{}{}{x^{}-1}\frac{}{}}{x^{2}+1} dx$

upravim na + rozsirim nulou

$-\frac{1}{4}\int_{}^{}\frac{\frac{}{}{2x^{}-1+1}\frac{}{}}{x^{2}+1} dx -\int_{}^{}\frac{1}{x^2+1}dx = -\frac{1}{4}ln|x^2+1|-arctgx+c$

je to v poriadku ?

jardofpr

↑ McJobs:↑ McJobs:

to už hej, teraz je to ok
chápeš čo bolo zle hej?
teraz môžeš pokraćovať v pôvodnom príklade ..

McJobs · 31. 01. 2012 20:13 — Editoval McJobs (31. 01. 2012 20:39)

takze idem to skusit

$\int_{}^{}\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^{2}-x+1}=-\frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{x-2}{x^2-x+1}=-\frac{1}{6}\int_{}^{}\frac{2x-2 +1}{x^2-x+1}-\int_{}^{}\frac{1}{x^2-x+1}$

to bude

$-\frac{1}{6}ln|x^2-x+1|$

a ta druha cast, ma bohuzial nenapada ako by sa to dalo upravit, pre arctg je 1+x^2 tu je este -x, mozno napisem hlupost, ale keby som to premenil na

$\int_{}^{}-x^{-2}+x^{-1}-1^{-1}dx$

a tak zintegroval, ale potom by vychazdala nula v menovateli, takze hlupost.

jardofpr · 31. 01. 2012 20:43

↑ McJobs:

v prvom riadku je chyba pri upravovní
prvá rovnosť je ešte ok, druhá už nie

McJobs · 31. 01. 2012 21:07 — Editoval McJobs (31. 01. 2012 21:09)

Ten druhy clen trebalo vynasobit tiez dvojkou, ze ? :(

$-\frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{x-2}{x^2-x+1}=-\frac{1}{6}\int_{}^{}\frac{2x-4+3}{x^2-x+1}-\int_{}^{}\frac{3}{x^2-x+1} =-\frac{1}{6}\int_{}^{}\frac{2x-4+3}{x^2-x+1}-3\int_{}^{}\frac{1}{x^2-x+1}dx$

jardofpr · 31. 01. 2012 22:49

↑ McJobs:

teraz je to ok

McJobs · 02. 02. 2012 19:30 — Editoval McJobs (02. 02. 2012 19:30)

cize prva cast ostava zintegrovana na

$-\frac{1}{6}ln|x^2-x+1|$

a s tou druho castou $-3\int_{}^{}\frac{1}{x^2-x+1}dx$

da sa to upravit nejako na aplikovanie vzorca, lebo mna doteraz nic nenapadlo.

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2012 20:12 — Editoval McJobs (27. 01. 2012 20:16)

Integrál s mocninou v menovateli

#2 27. 01. 2012 21:19

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#3 28. 01. 2012 09:15

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#4 28. 01. 2012 11:02

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#5 28. 01. 2012 13:40 — Editoval McJobs (28. 01. 2012 13:41)

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#6 28. 01. 2012 13:49

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#7 29. 01. 2012 12:35

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#8 29. 01. 2012 13:06

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#9 29. 01. 2012 15:35 — Editoval McJobs (29. 01. 2012 15:37)

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#10 29. 01. 2012 15:39 — Editoval jardofpr (29. 01. 2012 15:40)

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#11 29. 01. 2012 15:52 — Editoval McJobs (29. 01. 2012 15:52)

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#12 29. 01. 2012 16:01

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#13 29. 01. 2012 16:11

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#14 29. 01. 2012 16:42

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#15 29. 01. 2012 17:23

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#16 29. 01. 2012 17:27 — Editoval jardofpr (29. 01. 2012 17:50)

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#17 29. 01. 2012 17:50 — Editoval McJobs (29. 01. 2012 17:54)

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#18 29. 01. 2012 17:55 — Editoval jardofpr (29. 01. 2012 18:03)

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#19 30. 01. 2012 21:16

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#20 31. 01. 2012 09:44 — Editoval jardofpr (31. 01. 2012 09:45)

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#21 31. 01. 2012 20:13 — Editoval McJobs (31. 01. 2012 20:39)

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#22 31. 01. 2012 20:43

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#23 31. 01. 2012 21:07 — Editoval McJobs (31. 01. 2012 21:09)

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#24 31. 01. 2012 22:49

Re: Integrál s mocninou v menovateli

#25 02. 02. 2012 19:30 — Editoval McJobs (02. 02. 2012 19:30)

Re: Integrál s mocninou v menovateli

Zápatí