Matematické Fórum

Vincee · 29. 01. 2012 17:30

Řeším následující příklady, kdyby mi někdo byl ochoten naznačit postup nebo mě navézt, budu moc rád.

1.Určení asymptoty

2.Určení asymptoty

3.Určení inflexního bodu

Sulfan · 29. 01. 2012 17:40 — Editoval Sulfan (29. 01. 2012 17:41)

Ahoj,
na každou z podúloh (2.,3.) si založ vlastní téma, v tomto topicu pojďme rozebrat úlohu číslo 1. Definiční obor funkce $arctg(x)$ jsou všechna reálná čísla, tudíž stačí zajistit, aby výraz $\frac{x-1}{x+1}$ byl nezáporný a zároveň nenabýval ve jmenovateli nuly. Pokračoval jsi takovým způsobem?

Vincee · 29. 01. 2012 17:56

Musím se přiznat že trochu tápu,
myslíš tím takže určím definiční obor dané funkce?
↑ Sulfan:

Sulfan · 29. 01. 2012 18:03

↑ Vincee:Ano, určujeme definiční obor - protože jde o složenou funkci, tak musíme brát v úvahu všechny funkce, ze kterých je tato složená. Máme zde několik funkcí:
první funkci $f:arctg(x)$ , která je definovaná pro každou hodnotu reálného čísla x
druhou funkci $g:\sqrt(x)$ , která je definovaná jen pro nezáporné hodnoty x
a také funkci $h: \frac{x-1}{x+1}$ , která je definovná opět pro všechna x, kromě x=-1, pro které by vyšla nula ve jmenovateli.

Protože je naše funkce složená $f \circ g \circ h$ , tak definiční obor budou tvořit dvě podmínky:

1/ $x\neq -1$ (kvůli nule ve jmenovateli)
2/ $\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ musí existovat, tudíž je v argumentu nezáporný člen a tudíž $\frac{x-1}{x+1} \geq 0$

Vincee · 29. 01. 2012 18:08

Ano takhle polopaticky vysvětlené je to pro mě ideální, zatím chápu.
↑ Sulfan:

Sulfan · 29. 01. 2012 18:10

↑ Vincee: Skvělé, v tom případě ti definiční obor vyšel při splnění obou podmínek jak?

Vincee · 29. 01. 2012 18:20

No definičním oborem by měla být všechna kladná čísla kromě +1
↑ Sulfan:

Sulfan · 29. 01. 2012 18:21

↑ Vincee: To není příliš správně, umíš vyřešit tuto nerovnici: $\frac{x-1}{x+1} \geq 0$ ?

Vincee · 29. 01. 2012 18:24

Když ji vynásobím jmenovatelem (x+1) tak by mělo vyjít X>=1↑ Sulfan:↑ Sulfan:

Sulfan · 29. 01. 2012 18:31

↑ Vincee: Nechci tě znepokojovat, ale řešíš to špatně. Nerovnice přece jen tak nemůžeš násobit neznámou, co kdyby byl výraz (x+1) záporný a měnilo se znaménko nerovnosti? Domnívám se, že pokud se zabýváš již pokročilejší matematikou, tak bys měl takovou nerovnici vyřešit s prominutím bez mrknutí oka.

Nicméně definiční obor je $(-\infty;-1) \cup [1;+\infty)$ . Nastuduj si řešení takových nerovnic, jedná se o učivo střední školy.

Když jsem ti teda napsal ten definiční obor, víš aspoň jaké jsou druhy asymptot (nebo respektive, v jakých bodech může mít funkce asymtotu)?

Vincee · 29. 01. 2012 18:35

Mám neznalosti ano,
Asymptoty jsou vodorovné, svislé nebo šikmé. A bývají v bodech kde není funkce definována nulovych bodech jmenovatele.
↑ Sulfan:

Sulfan · 29. 01. 2012 18:36 — Editoval Sulfan (29. 01. 2012 18:37)

↑ Vincee: To zní daleko lépe. V jakých bodech definičního oboru bude mít smysl zkoumat, jestli existují asymptoty?

Vincee · 29. 01. 2012 18:39

-1 a možná i +1
↑ Sulfan:

Sulfan · 29. 01. 2012 18:43

↑ Vincee: Teď tedy mluvíš o kandidátech na svislé asymptoty. Svislou asymptotu má funkce v bodě, kde nabývá jednostranné limity $\pm \infty$ . Zkus si tedy spočítat obě limity:

$\underset{x \to \left (-1 \right )^{-}}{\lim } arctg \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$

$\underset{x \to +1 ^{+}}{\lim } arctg \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$

Napiš, jak ti vyšly.

Vincee · 29. 01. 2012 19:00

Asi jsem trošku narazil
v prvním případě když dosadím -1 tak ve jmenovateli je 0 a čitateli -2 znamenalo by to že to je minus nekonečno? odmocnina z minus nekonečna asi nelze
v druhem připadě dostanu 0/2 takže jsem opět narazil, zřejmě dělam někde chybu.
↑ Sulfan:

Sulfan · 29. 01. 2012 19:12

↑ Vincee:
Zřejmě máš mezery i v počítání limit, měl by sis to bezpodmínečně doplnit. Nicméně první limitu můžeš řešit substitucí:

$\underset{x \to \left (-1 \right )^{-}}{\lim } arctg \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\begin{bmatrix} subst. \\ y=\frac{x-1}{x+1} \end{bmatrix} =\underset{y \to + \infty}{\lim } arctg \sqrt{y}=\frac{\pi}{2}$

a druhou limitu stačí řešit dosazením, copak 0/2 je nějaký neurčitý výraz?

$\underset{x \to 1 ^{+}}{\lim } arctg \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}= arctg(0)=0$

Protože obě limity vyšly vlastní, tak nemá cenu dále uvažovat o svislých asymptotách. Nyní je nutné vyšetřit asymptoty v $\pm \infty$ . Znáš vzoreček (limitu), pomocí které se koeficienty rovnice asymptoty počítají?

Vincee · 29. 01. 2012 19:28

↑ Sulfan:
Našel jsem tyhle vzorečky
http://www.sdilej.eu/#0dba870d780808549 … 932f30.JPG

Sulfan · 29. 01. 2012 19:42 — Editoval Sulfan (29. 01. 2012 19:43)

↑ Vincee:
Ano, to je správně, tak do nich postupně dosaď (nejdříve pro variantu $+\infty$ ), abys zjistil koeficienty a,b.

Vincee · 29. 01. 2012 20:10 — Editoval Vincee (29. 01. 2012 20:11)

↑ Sulfan:

$a=\lim_{\to+\infty }\frac{arctg\sqrt{\frac{\infty -1}{\infty +1}}}{\infty }$

Vincee · 29. 01. 2012 21:00

↑ Vincee:
Mám ještě drobnou otázku k té první svislé asymptotě,
když použiju tu substituci proč se změní na limitu jdoucí k $+\infty$ ?
Asi mám mylnou představu, ale když do toho výrazu v substituci dosadím -1 tak bych měl dostat -2/0 což by mohlo být $-\infty$ , ne?

Díky

Sulfan · 29. 01. 2012 21:15 — Editoval Sulfan (29. 01. 2012 21:16)

↑ Vincee:
Naprosto nerozumím tomuto zápisu, proč tam to nekonečno dosazuješ. Zkus to přepsat lépe bez dosazení nějakého nekonečna.

↑ Vincee:
Jde o to, že se k té nule ve jmenovateli blížíme zleva a tudíž pro hodnoty blízké -1 (jen o trochu menší) nabývá zlomek ve jmenovateli záporných hodnot a tudíž se to znaménko vyruší.

Vincee · 29. 01. 2012 21:44

↑ Sulfan:
$a=\lim_{\to+\infty }\frac{arctg\sqrt{\frac{x -1}{x +1}}}{x }$
Takhle?

↑ Sulfan:
Díky napadlo mě to ale, nebyl jsem si jistý.

Sulfan · 29. 01. 2012 21:56

↑ Vincee:
No výborně, tak jsem to myslel, dokážeš tu limitu spočítat?

Vincee · 29. 01. 2012 22:20 — Editoval Vincee (29. 01. 2012 22:49)

↑ Sulfan:
nechám si poradit,
ale pokud bych všude dosadil $\infty$ , tak docházím k $a=\lim_{\to+\infty }\frac{arctg\sqrt{\infty }}{\infty }$
a pak snad $a=\lim_{\to+\infty }\frac{\frac{\pi }{2}}{\infty }$
a to by mohla být nula.
Tuším že to je asi uplna blbost, ale nějak se ztrácím ten arctg a do toho nekonečno mi to komplikuje.

$a=\lim_{\to+\infty }\frac{arctg\sqrt{\frac{x -1}{x +1}}}{x }$

Sulfan · 29. 01. 2012 22:52 — Editoval Sulfan (29. 01. 2012 22:53)

Stačí použít šikovně aritmetiku limit:

$\lim_{x \to +\infty }\frac{arctg\sqrt{\frac{x -1}{x +1}}}{x}=\frac{\lim_{x \to +\infty } arctg\sqrt{\frac{x\cdot (1-\frac{1}{x})}{x\cdot (1+\frac{1}{x})}}}{\lim_{x \to +\infty }x}=\frac{\lim_{x \to +\infty } arctg\sqrt{\frac{(1-\frac{1}{x})}{(1+\frac{1}{x})}}}{\lim_{x \to +\infty }x}=...$

zkus pokračovat.

Edit: Ano, výsledek bude nula, jen se dostaneš k trochu jinému tvaru a korektním postupem.

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2012 17:30

Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#2 29. 01. 2012 17:40 — Editoval Sulfan (29. 01. 2012 17:41)

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#3 29. 01. 2012 17:56

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#4 29. 01. 2012 18:03

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#5 29. 01. 2012 18:08

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#6 29. 01. 2012 18:10

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#7 29. 01. 2012 18:20

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#8 29. 01. 2012 18:21

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#9 29. 01. 2012 18:24

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#10 29. 01. 2012 18:31

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#11 29. 01. 2012 18:35

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#12 29. 01. 2012 18:36 — Editoval Sulfan (29. 01. 2012 18:37)

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#13 29. 01. 2012 18:39

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#14 29. 01. 2012 18:43

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#15 29. 01. 2012 19:00

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#16 29. 01. 2012 19:12

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#17 29. 01. 2012 19:28

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#18 29. 01. 2012 19:42 — Editoval Sulfan (29. 01. 2012 19:43)

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#19 29. 01. 2012 20:10 — Editoval Vincee (29. 01. 2012 20:11)

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#20 29. 01. 2012 21:00

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#21 29. 01. 2012 21:15 — Editoval Sulfan (29. 01. 2012 21:16)

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#22 29. 01. 2012 21:44

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#23 29. 01. 2012 21:56

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#24 29. 01. 2012 22:20 — Editoval Vincee (29. 01. 2012 22:49)

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

#25 29. 01. 2012 22:52 — Editoval Sulfan (29. 01. 2012 22:53)

Re: Ahoj pomohl by mi někdo prosím s určením asymptot a inflexních bodů?

Zápatí