Matematické Fórum

Arcasil · 29. 01. 2012 21:43

Zdravím,

Postrčil by mě někdo prosím kupředu při vyšetřování konvergence této řady: $\sum_{n=1}^{\infty} [\cos (\frac{1}{n}) -\cos (\frac{2}{n})]$ ?

Výraz uvnitř jsem si upravil pomocí součtových vzorců, ale zatím v tom nic nevidím. + Bez integrálního kriteria.
Díky

jardofpr

↑ Arcasil:

čo Taylorov rad?
ale z toho súčtového vzorca sa to dá vytĺcť
ale najrýchlejšie to bude asi z Lagrangeovej vety o strednej hodnote

Arcasil · 30. 01. 2012 00:14

↑ jardofpr:
ehm... nejak nerozumim

jardofpr

↑ Arcasil:

prepáč :)

najprv som sa pýtal či si skúšal aj $\cos \bigg(\frac{1}{n}\bigg)$ a $\cos \bigg(\frac{2}{n}\bigg)$
rozvinúť do Taylorovho radu a tam niečo vhodne posčitovať (ale to nebude nejaké praktické)

potom som hovoril o tom že z toho vzorca pre $cos x - cos y$ by to aj mohlo ísť

a na záver konštatovanie že by sa dobre dala použiť Lagrangeova veta o strednej hodnote

tebe to už nejak vyšlo medzitým?

Arcasil · 30. 01. 2012 00:25

↑ jardofpr:
Jasně rozvinout do Taylora... hm to bude ošklivé. Ne cítím v tom něco jednoduššího. Teď si tu čtu něco o Cauchyho kondenzačním kriteriu :) a to by na to celkem sedělo.

jardofpr · 30. 01. 2012 00:28

↑ Arcasil:

cez tu Lagrangeovu vetu je to na dva riadky ..
vieš ktorá to je? :)

Arcasil · 30. 01. 2012 00:30

↑ jardofpr:

Vím, věta o střední hodnotě, ale nechápu jak ji do toho chceš narvat :d

jardofpr

↑ Arcasil:

no,
pre každé $n \in \mathbb{N}$ funkcia $f(x)=cos x$ spĺňa na intervale $\bigg[\frac{1}{n},\frac{2}{n}\bigg]$
predpoklady tej vety

teda pre každé prirodzené číslo $n$ platí že
$\exists c_{n} \in \bigg(\frac{1}{n},\frac{2}{n}\bigg) \,:\, \bigg| \cos{\bigg(\frac{1}{n}\bigg)} - \cos{\bigg(\frac{2}{n}\bigg)}\bigg| = |-\sin(c_{n})| \cdot \bigg|\frac{2}{n} - \frac{1}{n} \bigg| \quad$

výraz na pravej strane rovnosti sa dá upraviť na
$\frac{|\sin{(c_{n})}|}{n}$

Arcasil · 30. 01. 2012 00:58

↑ jardofpr:
Jeee, to je hezky :) akorat u zkousky bych na to neprisel. Tim kondenzacnim mi to vyslo. Ale dik za rozsireni obzoru.

jardofpr

↑ Arcasil:

no, to ešte nie je úplne ono, ešte to nekonverguje takto

až keď sa za $c_{n}$ zvolí bod v ktorom má funkcia $\sin{x}$ na intervale (1/n,2/n) maximum
ktorý je $\frac{\pi}{2}$ pre n=1 a pre n>1 je to v bode (2/n)
tým sa to ohraničí zhora :)

potom je
$\sum_{n=1}^{\infty} \bigg[\cos \bigg(\frac{1}{n}\bigg) -\cos \bigg(\frac{2}{n}\bigg)\bigg] \leq 2+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{|\sin{(c_{n})}|}{n} \leq 2+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{| \sin{(\frac{2}{n})}|}{n}\leq 2+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\frac{2}{n}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^2}$

ten posledný rad je už konvergentný očividne, takže aj ten pôvodný (tiež má kladné členy a je zhora ohraničený konvergentným)