Matematické Fórum

Niky · 29. 01. 2012 22:30

Ahoj,
opět jsem tu s dotazem.
Potřebovala bych drobátko poradit s výpočtem obsahu obrazce, který je ohraničený funkcí, jejíž průběh neznám a přímkou. Kudy do toho?
Respektive musím počítat průběh funkce? Test bude časově omezený a tohle mi přijde jako zbytečně zdlouhavé a navíc hrozně náchylné na chyby.

Např.:
funkce je y=(x+1)ln(x+1) a přímka prochází body [-5,-4], [7,8]

Má někdo nápad na postup?

xfastx · 29. 01. 2012 22:56

Zdravím.... Z těch 2 bodů se dosazením do rovnice přímky udělá její předpis, v tomto přpadu to bude $y=x+1$ , pak se vezme přepis fce a položí se rovno přepisu přímky (tím se zjistí průsečíky funkce a přímky) tedy $x+1=(x+1)ln(x+1)$ tato rovnice se vyřeší a vyjdou průsečíky (meze integrálu). Ale v tomto kokrétním případě nastává problém... Vychází totiž jenom jeden průsečík $x=e-1$ takže by to muselo být celé ještě omezeno něčím např. osou "y"

Sulfan · 29. 01. 2012 23:00

↑ xfastx:
To bude souviset s tím, že funkce není v tom druhém bodě úplně definovaná, ale limitně se tam blíží stejné hodnotě na kraji definičního oboru:
$\lim_{x \to -1^{+} } (x+1)\cdot \ln(x+1)=0$
a přímka v bodě -1 nabývá také hodnoty 0.

Niky · 30. 01. 2012 00:13

Takže do toho budu muset ještě mixovat limity? No to potěš koště...
Zítra na to mrknu, zatim díky za rady :)

Sulfan · 30. 01. 2012 10:08 — Editoval Sulfan (30. 01. 2012 10:08)

↑ Niky: Jde o to, že Definiční obor funkce $f(x)=(x+1) \cdot \ln(x+1)$ je $(-1;+\infty)$ , ale limitně se blíží v bodě -1 zprava hodnotě 0. Kdybychom uvážili, že tam tu funkci smíme dodefinovat rovnou 0 (díky tomu, že limita vyšla 0). Pak by byl definiční obor funkce již $[-1;+\infty)$ , funkce by byla na celém definičním oboru spojitá.
$f(x)=\begin{cases} (x+1)\cdot \ln(x+1) & \text{ pro } x>-1 \\ 0 & \text{ pro } x=-1 \end{cases}$
Tudíž by řešení modifikované rovnice, jakou psal správně ↑ xfastx:: $x+1= f(x)$
bylo nejen $x_{1}=e-1$ , ale také $x_{2}=-1$ .

Honzc · 30. 01. 2012 12:09

↑ Niky:
Graf pomůže?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Niky · 30. 01. 2012 23:53

Já vám děkuju za snahu kluci (a případně i holky :) ), ale tenhle příklad asi nechám plavat, nějak je nad moje síly...
K průsečíku na e-1 jsem se dostala, ale u tý limity mam malinko problém s pochopením o co vlastně jde.

Došla jsem k názoru, že kvůli tomu logaritmu nemůže x nabývat hodnot -1 a nižších, takže jsem si jednoduše dosadila za druhý průsečík -0,9 a obsah mi nějak vyšel. Správný výsledek si nemám jak ověřit, ale snad se povedlo.