Matematické Fórum

entf@k · 29. 01. 2012 20:20

Ahoj,

potřebuji trochu popostrčit. Doteď jsem to řešil bez jakékoliv separace a výšlo mi obecné řešení :
$\sqrt{(1-t)/(t+2)}=\sqrt{(x+1)/(x-1)}C$
Což naprosto neodpovídá výsledku. resp po dosazení $x(0)=0$
výsledek neodpovídá
$x(t)=\frac{3t}{4-t}..... t\in (-2,1)$

Určitě počítám špatně, ale nevím kde přesně dělám chybu...

Předem díky

jardofpr · 29. 01. 2012 21:34

↑ entf@k:

ahoj, ako si to riešil keď nie separáciou premenných?

entf@k · 30. 01. 2012 13:26 — Editoval entf@k (30. 01. 2012 13:32)

↑ jardofpr:
hoj,

pro mne standartní cestou
na
$\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{t^{2}+t-2}dt=\frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}-1}dx$

po úpravách

$\frac{1}{6}ln\frac{1-t}{t+2}=\frac{1}{6}ln\frac{1-x}{x+1} +lnC$

a u tohoto si nejsem vůbec jistý

jardofpr

↑ entf@k:

to je metóda separácie premenných

na niečo si zabudol keď si to prevádzal na rovnosť integrálov
vieš na čo?

entf@k · 30. 01. 2012 13:38

↑ jardofpr:
nevím

jardofpr · 30. 01. 2012 13:41

↑ entf@k:

delíš výrazmi, o ktorých nevieš či si to môžeš dovoliť
najprv treba nájsť podmienky za ktorých to môžeš vydeliť výrazmi ktoré sa ocitnú v ďalšom kroku v menovateľoch

entf@k · 30. 01. 2012 13:43

↑ jardofpr:
nějaký příklad pls?, už do toho čumím třetí den a nějak se fakt nechytám :D

jardofpr

↑ entf@k:

oki
riešiš rovnicu $t(x+1)=1-t$

(len tak na demonštráciu)
môžeš hneď urobiť úpravy

$x+1=\frac{1-t}{t}$
$x=\frac{1-t}{t}-1$ ?????\

čo sa stane ak $t=0$ ?

entf@k · 30. 01. 2012 13:57

↑ jardofpr:↑ jardofpr:
tak mi vyleze $x=\frac{1-2t}{t}$

s tím že jednou podmínkou je, že t nesmí být 0
Což mi ale neovlivní rovnici jako takovou

jardofpr

↑ entf@k:

akože nie?

cieľom riešenia diferenciálnej rovnice je nájsť SPOJITÚ FUNKCIU ktorá danú rovnicu spĺňa NA ČO NAJVäČŠOM INTERVALE
myslíš že keď nebudeš brať do úvahy tieto problémové body,
dopracuješ sa k správnemu riešeniu?

entf@k · 30. 01. 2012 14:03

↑ jardofpr:
aha, pravda...

entf@k · 30. 01. 2012 14:04 — Editoval entf@k (30. 01. 2012 14:07)

↑ entf@k:
takže vybrat nulové body, určit intervaly... A pak jak, určitým integrálem?
resp. u té rovnice platí, že
$x\in R-\{-1, 1\} t\in R-\{-2,1\}$

jardofpr

↑ entf@k:

až tak jednoduché to nebude,
z toho že $t\neq-2 \wedge t\neq 1$ vyplynie
$t \in (-\infty,-2)\cup(-2,1)\cup(1,\infty)$

to je ok

ale x nie je nezávislá premenná
$x=x(t)$ je funkcia závislá od $t$

a podmienka $x\neq 1 \wedge x\neq -1$ znamená,
že $\forall t \in D(x) \,:\, x(t) \neq \pm 1$
(D(x) je def.obor funkcie x(t))

je to aspoň trochu zrozumiteľné?

entf@k · 30. 01. 2012 14:23

↑ jardofpr:↑ jardofpr:
aha, tak už konečně začínám chápat. Na začátku úplně jiné podmínky.... Ale pořád nevím, jak se mi změní ten integrál

jardofpr

↑ entf@k:

ten integrál sa nezmení, bude sa to cez neho rátať, zmena je inde

opakujem sa
hľadáme spojitú funkciu $x(t)$ takú, že spĺňa danú rovnicu na čo najväčšom intervale

(je to rovnica 1.rádu, dá sa takto graficky interpretovať ..)
tie podmienky rozdelily rovinu na 9 častí,
na každej z tých častí môže mať rovnica iné riešenie
všimaj kde ležia začiatočné podmienky, body $[t,x(t)]$

$[0,0],[2,3],[-1,1],[-2,-3]$

ALE:
okrem týchto riešení (regulárnych) môže mať rovnica aj singulárne riešenia
a to sú tie funkcie, ktoré ležia presne tam
kde sú problémové body

to je posledná vec čo treba pred tým integrálom overiť
či konštantné funkcie $x(t)=-1$ a $x(t)=-1$ nie sú náhodou riešeniami tej rovnice
(v pôvodnej rovnici totiž ani t, ani x, nie sú v menovateli, my ich tam presúvame,
aby sme mohli integrovať, ale predtým než sa pustíme ďalej,
treba zistiť či sme tým neprišli o nejaké riešenia ..
je to jasnejšie??

entf@k · 30. 01. 2012 14:48 — Editoval entf@k (30. 01. 2012 15:09)

↑ jardofpr:
Určitě jassnější. Víceméně jsem tedy doposud řešil jen obecné řešení...
Což odpovídá tomu, že toto prakticky počítám poprvé. Ják tedy impementuji tyto podmínky do konečného výsledku?

jardofpr

↑ entf@k:

no,
treba overiť tie funkcie čo som spomínal vyššie
dosadením do rovnice
ak vyjde rovnosť pre niektorú z nich, bude singulárnym riešením rovnice

$2(t^2+t-2).[x(t)]' = 3([x(t)]^2-1)$

$x(t) \equiv -1 \Rightarrow x'(t)=0$
dosadenie do rovnice
$2(t^2+t-2).0=3[(-1)^2-1]$
$0=3(1-1)$
$x(t) \equiv -1$ teda vyhovuje dif.rovnici a je singulárnym riešením s definičným oborom $D(x)=\mathbb{R}$
to isté sa spraví aj s $x(t) \equiv 1$
a zistí sa či je singulárnym riešením alebo nie .. ako to vyjde?

entf@k · 30. 01. 2012 15:25 — Editoval entf@k (30. 01. 2012 15:36)

↑ jardofpr:
$0=3[1^{2}-1]$
takže je taky singulárním řešením

resp. aby to bylo nějak upravené tak prvně

$x(t)=1, x\text{´}(t)=0$

Pokud dobře chápu, takv případě, že řeším danou rovnici pro x(0)=0 mi tyto podmínky nic velkého neříkají, ale kdybych měl počáteční podmínky x(-1)=1, tak vím že mám řešení.

jardofpr

↑ entf@k:

tak
všimni že je to riešenie na celej množine $\mathbb{R}$
ešte neprišlo k žiadnym machináciám s delením a podobne
teraz je všetko ok a môžme ísť k tomu integrovaniu
zatiaľ máme:

ak $(x(t) \equiv -1) \vee (x(t) \equiv 1) \Rightarrow x(t) \textrm{je riešením danej rovnice,} D(x(t))=\mathbb{R}$
inak $\forall t \in \mathbb{R} \,: \, x(t) \neq \pm 1$
a môžme predeliť pôvodnú rovnicu, dostaneme

$\frac{2(t^2+t-2)x'}{x^2-1}=3$

vylúčia sa body pre ktoré polynóm v čitateli ľavej strany je rovný nule
a dostaneme
$\frac{2dx}{x^2-1} = \frac{3dt}{t^2 +t-2}\,\,,\, x\neq \pm 1\,\,,\,t\notin \{-2,1\}$
môže sa integrovať

entf@k · 30. 01. 2012 15:44 — Editoval entf@k (30. 01. 2012 16:02)

↑ jardofpr:
upravit na
$2\int_{}^{}\frac{1}{(x+1)(x-1)}dx=3\int_{}^{}\frac{1}{(t-1)(t+2)}dt$
a z toho vyleze
$2\frac{1}{2}(ln|1-x|-ln|x+1|)=3\frac{1}{3}(ln|1-t|-ln|t+2|) + lnC$

z čehož by mělo být

$ln\frac{(1-x)}{(x+1)}=ln\frac{(1-t)}{(t+2)}C$

jardofpr

↑ entf@k:

no a tu došlo ku chybe aj v tom prvom výpočte
ono vo všeobecnosti platí
$\int_{}^{}\frac{dx}{x+a}=\ln{|x+a|}$
len často sa na tú absolútnu hodnotu zabúda
teda všetky argumenty tých logaritmov patria do absolútnych hodnôt

entf@k · 30. 01. 2012 16:00 — Editoval entf@k (30. 01. 2012 16:20)

$ln\frac{|x-1|}{|x+1|}=ln\frac{|1-t|}{|t+2|}C$

pravda, takže takto?

a když pojedu hnusně dál a nebudu chtít zatím řešit absolutní hodnoty
$\frac{|x-1|}{|x+1|}=\frac{|1-t|}{|t+2|}C$

z čehož vychází, že se pohybujeme na výsledku $C=\frac{1}{2}$ a $C=-\frac{1}{2}$
při dosazení $x(0)=0$

vím že to není košér, ale tímto by bylo obecné řešení

jardofpr

↑ entf@k:

no, malo by z toho myslím vyjsť
$\ln{\bigg|\frac{x-1}{x+1}\bigg|}=\ln{\bigg(c\bigg|\frac{t-1}{t+2}\bigg|\bigg)}\quad c\in \mathbb{R}^{+}$
jj má to byť takto, zderivoval som to pre kontrolu

nebudeme teraz hľadať chybu v tom integráli, to zvládneš sám
pokračujeme

$\bigg|\frac{x-1}{x+1}\bigg|=c.\bigg|\frac{t-1}{t+2}\bigg|$

na to aby sme mohli vyjadriť funkciu x (t) explicitne v tvare x(t)=nejaká funkcia od premennej t,
potrebovali by sme sa zbaviť absolútnych hodnôt

z podmienok máme $t \in (-\infty,-2)\cup(-2,1)\cup(1,\infty)$

všimaj že na každom z tých troch intervalov má f trochu iný predpis
vidíš to?

jardofpr · 30. 01. 2012 16:38

↑ entf@k:
ok .. pomôže nám teraz že máme zač. podm.
vezmeme a) $x(0)=0$ ...teda hľadáme jedno jediné riešenie SPOJITÉ a ČO NAJVäČŠÍ INTERVAL ..

na ktorom z intervalov $(-\infty,-2) \quad ,\quad (-2,1)\quad ,\quad (1,\infty)$ budeme toto riešenie hľadať???

jardofpr · 30. 01. 2012 16:40

↑ entf@k:

tá funkcia s absolútnymi hodnotami môže tak ostať pokiaľ nehľadáš konkrétne riešenie,
riešenie môže byť vyjadrené aj implicitne

iba keď hľadáš nejaké konkrétne tak chceš tie abs. hodnoty preč
a v tom pomôže zač. podm.

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2012 20:20

Diferenciální rovnice 1. řádu

#2 29. 01. 2012 21:34

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#3 30. 01. 2012 13:26 — Editoval entf@k (30. 01. 2012 13:32)

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#4 30. 01. 2012 13:34 — Editoval jardofpr (30. 01. 2012 13:36)

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#5 30. 01. 2012 13:38

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#6 30. 01. 2012 13:41

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#7 30. 01. 2012 13:43

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#8 30. 01. 2012 13:46 — Editoval jardofpr (30. 01. 2012 13:49)

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#9 30. 01. 2012 13:57

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#10 30. 01. 2012 13:58 — Editoval jardofpr (30. 01. 2012 14:01)

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#11 30. 01. 2012 14:03

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#12 30. 01. 2012 14:04 — Editoval entf@k (30. 01. 2012 14:07)

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#13 30. 01. 2012 14:11 — Editoval jardofpr (30. 01. 2012 14:22)

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#14 30. 01. 2012 14:23

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#15 30. 01. 2012 14:28 — Editoval jardofpr (30. 01. 2012 14:43)

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#16 30. 01. 2012 14:48 — Editoval entf@k (30. 01. 2012 15:09)

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#17 30. 01. 2012 15:14 — Editoval jardofpr (30. 01. 2012 15:23)

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#18 30. 01. 2012 15:25 — Editoval entf@k (30. 01. 2012 15:36)

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#19 30. 01. 2012 15:34 — Editoval jardofpr (30. 01. 2012 15:40)

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#20 30. 01. 2012 15:44 — Editoval entf@k (30. 01. 2012 16:02)

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#21 30. 01. 2012 15:56 — Editoval jardofpr (30. 01. 2012 15:58)

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#22 30. 01. 2012 16:00 — Editoval entf@k (30. 01. 2012 16:20)

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#23 30. 01. 2012 16:08 — Editoval jardofpr (30. 01. 2012 16:52)

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#24 30. 01. 2012 16:38

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

#25 30. 01. 2012 16:40

Re: Diferenciální rovnice 1. řádu

Zápatí