Matematické Fórum

Zdravím,

ano, je to pomocí Eulerova vzorce. K tomu si vem nerovnost , která říká, že pokud jsou všechny vrcholy až na jeden stupně minimálně 6, tak hran musí být tolik. To když dáš dohromady, tak ti to hned vypadne.

↑ loki13:

Provádíme důkaz sporem. Nechť máme graf na  V vrcholech, a předpokládáme, že nejvýše 1 vrchol má stupeň menší než 6 (pokud by byly 2, tak je věta pravdivá). Teď nás zajímá kolik je v tom grafu hran. Na to nám stačí spočítat součet stupňů všech vrcholů (a vydělit dvěma). No a protože V-1 vrcholů má stupeň (minimálně) 6 a jeden vrchol (minimálně) 0, tak součet všech stupňů je minimálně . To ale znamená, že hran je minimálně . Od tud vzorec .

Skrytý text:
, tak nám vyjde nerovnost po úpravách , což je spor.
Proto nemůže být jen jeden vrchol stupně nižšího než 6.

↑ Juxtapose:
Ano, máš pravdu, to že je souvislý jsem přehlédl. I když je to zbytečná podmínka.