Matematické Fórum

Michaell0071

Ahoj lidi, chtěl bych vás poprosit o radu k tomuto příkladu: Určete obecnou rovnici i parametrické vyjádření roviny souměrnosti dané úsečky AB $A=[3,2,5]$ $B=[-1,4,3]$
Vůbec nevím jak na to. Děkuji za každou radu.

jardofpr · 29. 01. 2012 15:23

↑ Michaell0071:

rovina súmernosti úsečky napríklad prechádza jej stredom a tá úsečka je na ňu kolmá
alebo môžeš využiť že úsečka AB je normálou hľadanej roviny

Michaell0071 · 29. 01. 2012 16:07

↑ jardofpr: Můžeš prosím nastínit postup výpočtu? díky

jardofpr

↑ Michaell0071:

no môžeš napríklad nájsť súradnice stredu tej úsečky
potom 2 vektory z $\mathbb{R}^3$ (predpokladám že robíte v ňom) ktoré sú navzájom lineárne nezávislé a zároveň sú oba kolmé na vektor (B-A) ...
to je všetko čo potrebuješ na parametrické vyjadrenie

Michaell0071 · 29. 01. 2012 16:58

↑ jardofpr: Ty dva vektory můžu najít jak???

jardofpr

↑ Michaell0071:

a už máš vektor B-A?
keď ho budeš mať, potom množinu všetkých takých vektorov nájdeš pomocou skalárneho súčinu,
a z nej vyberieš ľubovoľnú bázu

Michaell0071

↑ jardofpr: ANO vektor B-A $(-4;2;-2)$ OK skalární součin vektoru B-A a ten druhý vektor je který??? Děkuji

jardofpr

↑ Michaell0071:

ľubovoľný
pri označení $B-A=y$
$x=(x_{1},x_{2},x_{3})$

to bude
$x.y= ??$

ako bude vyzerat ten sucin?

Michaell0071 · 29. 01. 2012 23:26

↑ jardofpr:tak sem vypočítal ten součin. Do determinantu jsem dal první řádek $i,j,k$ druhý ten vektor B-A tedy $-4,2,-2$ a jako třetí jsem si zvolil vektor $3,2,5$ vypočtením mi vyšel vektor: $(14;14;-14)$
Je to tak správně?

jardofpr

↑ Michaell0071:

ľubovoľný malo znamenať že "všeobecný"
nie že si nejaký zvolíš, to nemôžeš

máš vektor $[B-A]$
vezmeš ľubovoľný vektor $x \in \mathbb{R}^3$

teda x bude $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$

potom skalárny súčin:(ďalej bude $B-A$ označený ako $y$ , teda $y=(-4,2,-2)$ )

$\langle x,y\rangle = \langle(x_{1},x_{2},x_{3}),(-4,2,-2)\rangle = -4x_{1} +2x_{2}-2x_{3}$

ty nehľadáš ale všetky vektory, iba také, ktoré sú kolmé na $y$

teda musia spĺňať podmienku $\langle x,y\rangle=0$
teda $-4x_{1} +2x_{2}-2x_{3}=0$

na to aby si ich našiel, musíš vyriešiť tento "systém 1-rovníc o 3 neznámych "
dokážeš to?

Michaell0071 · 30. 01. 2012 00:08

↑ jardofpr:jak se to řeší? Determinantem?

jardofpr · 30. 01. 2012 01:58

↑ Michaell0071:

nie,
sú tam dve nezávislé premenné a jedna závislá
teda jedna premenná bude vyjadrená pomocou ďalších dvoch
už si spomínaš na také niečo?

Michaell0071 · 30. 01. 2012 10:27

↑ jardofpr:Vyšlo mi $x_{1}=2$ $x_{2}=5$ $x_{3}=1$ Vypočítal jsem to tak že jsem si za x2 dal S a za x3 dal T $s,t\in \mathbb{R}$
Je to tak správně?

jardofpr · 30. 01. 2012 12:26

↑ Michaell0071:

a čo by malo predstavovať to čo si vypočítal?
hľadáš 2 vektory, našiel si 3 čísla..alebo jeden vektor
je to to isté?

Michaell0071 · 30. 01. 2012 13:51

↑ jardofpr:Nevím co dál. Ukázal bys mi prosím jak na to?

jardofpr

↑ Michaell0071:

no ten vektor ktorý ti vyšiel naozaj je kolmý na B-A
ale nechápem prečo ti vyšiel iba jeden
ako sa to stalo?
môžeš sem napísať presne ten výpočet tvoj?

Rumburak

↑ Michaell0071:
Ahoj.
Máš v podstatě za úkol řešit DVĚ úlohy:

1) najít obecnou rovnici roviny symetrie,
2) najít parametrické rovnice této roviny.

Rozhodni se, kterou z těchto úloh chceš řešit přednostně a kterou následně.

Kolega ↑ jardofpr: Ti podal přesný návod, jak řešit úlohu 1 - tato úloha je skutečně jednodušší a i já bych s ní začal.
Dořeš ji do konce a teprve pak se vrhni na tu druhou. Těkáním mezi nimi se nikam nedostaneš.

Jdi na to analyticky: Hledaná rovina bude mít obecnou rovnici ax + by + cz + d = 0, kde čísla a, b, c, d postupně zjistíme z podmínek úlohy.

Jaký je geometrický význam vektoru (a, b, c) ?

Michaell0071 · 30. 01. 2012 14:29

↑ jardofpr: $x_{1}=\frac{2s-2t}{4}$ $s,t\in \mathbb{R}$ čísla jsem zvolil tato: $s=5;t=1$ $2x_{2}=8+2t$
$2x_{2}=8+2t\Rightarrow x_{2}=\frac{10}{2}=5$ $-4x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=0\Rightarrow -2x_{3}=-2\Rightarrow x_{3}=1$

jardofpr

↑ Michaell0071:
výsledok ktorý ti vyšiel zo systému je teda
$x_{1}=\frac{2s-2t}{4}\,\,s,t\in \mathbb{R}$
teda všetky vektory ktoré toto budú spĺňať by mali byť kolmé na ten ktorý hľadáš
najlepšie býva zvoliť pri hľadaní lineárne nezávislých vektorov s=1,t=0 a potom t=1,s=0$
takto máš 2 vektory a bod ktorý ti určuje jednoznačne rovinu a všetko čo potrebuješ aby si poskladal tú rovinu ktorú hľadáš

Michaell0071 · 30. 01. 2012 22:20

↑ jardofpr:Když jsem tedy dosadil za s=1 ; t=0 vyšel mi vektor $(\frac{1}{2};1;0)$ nebo taky $x_{1}=\frac{1}{2};x_{2}=1;x_{3}=0$ když jsem pak dosadil za s=0 ; t=1 vyšel mi vektor $(-\frac{1}{2};0;1)$ nebo-li $x_{1}=-\frac{1}{2};x_{2}=0;x_{3}=1$ Je to tak správně? Co nyní? Díky

jardofpr

↑ Michaell0071:

no, keď si to zhrnieš, máš bod ktorý patrí hľadanej rovine, a 2 lineárne nezávislé vektory (tie sú správne) ktoré do tej roviny patria .. bod a 2 vektory túto rovinu už určujú jednoznačne, a je to dosť informácií na to, aby si priamo získal parametrické vyjadrenie hľadanej roviny

Michaell0071 · 31. 01. 2012 09:49

↑ jardofpr:Napsal bys mi sem teda tu rovnici??

jardofpr

↑ Michaell0071:

tak na to zabudni ... to je na tom príklade tá najľahšia vec zapísať to do parametrického vyjadrenia keď už máš vśetky potrebné informácie
pokiaľ chceš od niekoho pomoc, predpokladá sa že vieš na čo sa pýtaš, a že niečo pre to riešenie
spravíš aj ty
nakoľko TY ani nevieš čo máš počítať, a nie si ochotný si ani POZRIEŤ čo to vlastne je,
predpokladáš že všetko dostaneš zadarmo a že to niekto všetko urobí za teba len preto,
že to TY potrebuješ, ale sa ti NECHCE, bola chyba že som ťa viedol až tak ďaleko

takže odmietam ti naďalej venovať svoj čas a do tejto témy už neprispejem

Michaell0071 · 31. 01. 2012 10:18

↑ jardofpr:Tak to se omlouvám. Já jen že mám zítra zkoušku a celý den se učím a s tímto příkladem sem si vůbec nevěděl rady. Tak promiň

jardofpr · 31. 01. 2012 10:52

↑ Michaell0071:
tvoje ospravedlnenie prijímam a vďaka zaň, ale tú rovnicu ti nenapíšem aj tak
to zvládneš sám z dostupných údajov

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2012 14:31 — Editoval Michaell0071 (29. 01. 2012 14:32)

Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#2 29. 01. 2012 15:23

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#3 29. 01. 2012 16:07

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#4 29. 01. 2012 16:50 — Editoval jardofpr (29. 01. 2012 18:20)

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#5 29. 01. 2012 16:58

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#6 29. 01. 2012 18:22 — Editoval jardofpr (29. 01. 2012 18:32)

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#7 29. 01. 2012 18:34 — Editoval Michaell0071 (29. 01. 2012 18:50)

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#8 29. 01. 2012 19:03 — Editoval jardofpr (29. 01. 2012 19:05)

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#9 29. 01. 2012 23:26

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#10 29. 01. 2012 23:44 — Editoval jardofpr (29. 01. 2012 23:54)

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#11 30. 01. 2012 00:08

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#12 30. 01. 2012 01:58

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#13 30. 01. 2012 10:27

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#14 30. 01. 2012 12:26

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#15 30. 01. 2012 13:51

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#16 30. 01. 2012 13:55 — Editoval jardofpr (30. 01. 2012 14:02)

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#17 30. 01. 2012 14:03 — Editoval Rumburak (30. 01. 2012 14:11)

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#18 30. 01. 2012 14:29

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#19 30. 01. 2012 16:33 — Editoval jardofpr (30. 01. 2012 16:42)

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#20 30. 01. 2012 22:20

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#21 31. 01. 2012 09:39 — Editoval jardofpr (31. 01. 2012 09:39)

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#22 31. 01. 2012 09:49

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#23 31. 01. 2012 09:57 — Editoval jardofpr (31. 01. 2012 09:59)

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#24 31. 01. 2012 10:18

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

#25 31. 01. 2012 10:52

Re: Obecné a parametrické vyjádření roviny souměrnosti

Zápatí