Matematické Fórum

FliegenderZirkus · 31. 01. 2012 14:13

Ahoj, řeším následující diferenciální rovnici
$\frac{\partial \xi }{\partial t}=D\frac{\partial ^2\xi }{\partial x^2}$
popisující jednorozměrnou difuzi, řešením je tedy funkce dvou proměnných - času a jedné souřadnice. Aby bylo možné použít analogii mezi difuzí a vedením tepla a následně teorii podobnosti, zavede se substituce vedoucí na bezrozměrné veličiny:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

$\xi=\xi^*(\xi _O - \xi _U)+\xi _U$ , $x=\frac{x^* \delta}{2}$ , $t=t^*\tau$ . Tyto výrazy se dosadí do rovnice a má vyjít:
$\frac{\xi _0-\xi _U }{\tau}\frac{\partial \xi ^*}{\partial t^*}=D\frac{(\xi _0-\xi _U )}{$\frac{\delta }{2}$^2}\frac{\partial ^2\xi ^*}{\partial (x^*)^2}$ , po úpravě
$\boxed{\frac{\partial \xi ^*}{\partial t^*}=\frac{4D\tau}{\delta^2}\frac{\partial ^2\xi ^*}{\partial (x^*)^2}}$ .

Kdyby byla $\xi$ funkce jedné proměnné, tak by se dalo psát $\mathrm{d}\xi=(\xi _O-\xi _U)\mathrm{d}\xi^*$ , což se nějak dosadí do původní rovnice. Tady by se to asi mělo značit jinak...? Tohle ale ještě docela chápu, problém mám spíš s tou druhou derivací - kde se vzalo $\frac{\partial ^2\xi }{\partial x^2}=\frac{(\xi _0-\xi _U )}{\color{red}$\frac{\delta }{2}$^2}\color{black}\frac{\partial ^2\xi ^*}{\partial (x^*)^2}$ ? Díky za rady.

Pavel Brožek

↑ FliegenderZirkus:

Odtud:

$\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial x^*}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x^*}$ .

(Jde vlastně o derivaci složené funkce.)

FliegenderZirkus · 31. 01. 2012 15:27

↑ Pavel Brožek:

Jasně, analogicky pak tedy bude: $\frac{\partial }{\partial t}=\frac{\partial t^*}{\partial t}\frac{\partial }{\partial t^*}$ ,
$\frac{\partial \xi }{\partial t}=\frac{1}{\tau }\frac{\partial }{\partial t^*}$\xi ^*(\xi _O-\xi _U)+\xi _O$=\frac{\xi _0-\xi _U }{\tau}\frac{\partial \xi ^*}{\partial t^*}$ . Asi už rozumím, ale možná ještě přibyde jeden dotaz, proto zatím za vyřešené neoznačím. Díky.

Matematické Fórum

#1 31. 01. 2012 14:13

Substituce v diferenciální rovnici

#2 31. 01. 2012 14:30 — Editoval Pavel Brožek (31. 01. 2012 14:32)

Re: Substituce v diferenciální rovnici

#3 31. 01. 2012 15:27

Re: Substituce v diferenciální rovnici

Zápatí