Matematické Fórum

squo · 01. 02. 2012 22:20

ahoj,
viem, ze $\Sigma_{x=1..\infty} \frac{1}{n^k}$
konverguje pre k>1,
zaujima ma ale podmienka konvergencie pre
$\Sigma_{x=1..\infty} \frac{log n}{n^k}$
Odhadujem, ze je rovnaka...ale neviem to dokazat... poradi mi niekto?
Vdaka

jarrro · 01. 02. 2012 22:33

integrálne kritérium

aaoswego

Sice uz starsi tema, ale mohl by nekdo okontrolovat muj postup?

$\int_{}^{} ln(n)/n^k dn=||ln(n)=x\Rightarrow dn=ndx||$
$=$
$\int_{}^{}\frac{1}{(e^k)^x)}*e^xdx=\frac{(e^(1-k))^x}{1-k}$
(1-k) je v exponentu

Kdyz "x"jde do nekonecna, tak musim tedy mit citatele mensiho nez jedna, coz je splneny pro "k" vetsi nez 1

user · 23. 05. 2012 18:15 — Editoval user (23. 05. 2012 18:24)

Jednoduseji se da $\frac{1}{n^k} \le \frac{\ln n}{n^k}$ - to je z jedné strany a z druhé $\frac{\ln n}{n^k}\le \frac{n^\varepsilon }{n^k}=\frac{1}{n^{k-\varepsilon }}; \varepsilon >0$ od jistého n0

aaoswego · 23. 05. 2012 19:20

Jak se u ty druhy rovnice dostanu k tomu, ze "k" musi byt vetsi nez jedna?
Jinak jenom ciste pro kontrolu, je ten muj integral napsanej dobre?
Diky

user · 23. 05. 2012 20:01 — Editoval user (23. 05. 2012 20:21)

kdyz odhaduji konvergentni posloupnosti - uvazuji k>1 a zkoumam jestli najdu takove epsilon>0, aby muj odhad platil, tak vyberu $\varepsilon :=\frac{k-1}{2}$ toto epsilon je urcite kladne, protoze $k$ uvazuji take ostre vetsi nez jednai. A po dosazeni epsilonu dostanu srovnani s $\frac{1}{n^{\frac{3k-1}{2}}}$ vyraz $\frac{3k-1}{2}$ je pro k>1 urcite take vetsi nez jedna, tazke rada konverguje.

Formalne doporucuji si davat pozor na indexy. Pouzivas dx ackoliv se v integralu nevyskytuje, stejne x jako scitaci index u uvodni sumy. Sice taky nemam rad kdyz se v tom nekdo rype, ale zprehledni to text...

EDIT: Jak jsi provadel substituci v integralu? nejak se mi to nezda, jestli jsi substituoval ln(n)=x, tak by pak nemelo byt e^x ale x.
EDIT 2: Jeste chybi srovnani pro k=1 ale to integralem trivialni - substituce je hned anebo je to specialni pripad zname $\frac{1}{n\ln ^{\alpha }n}$

aaoswego · 23. 05. 2012 20:27

Nj chybka se koukam vloudila, pokud necham tu samou substituci, tak pak tedy dostanu $\int_{}^{}\frac{x*e^x}{(e^x)^k}$ ? A pak se da pokracovat pres per partes?
Ten index jsem opravil.

aaoswego · 02. 06. 2012 13:37

Muze nekdo prosim navazat? Diky

Cynyc · 02. 06. 2012 14:20

↑ aaoswego: Ano, a přirozenější a jednodušší by bylo použít p.p. rovnou (bez substituce), ale tak či onak je to drbání se nohou za uchem. Mnohem jednodušší je postup přes srovnání s n^a shora i zdola, jak to výše ukázal user.

Matematické Fórum

#1 01. 02. 2012 22:20

konvergence rady

#2 01. 02. 2012 22:33

Re: konvergence rady

#3 23. 05. 2012 14:31 — Editoval aaoswego (23. 05. 2012 20:14)

Re: konvergence rady

#4 23. 05. 2012 18:15 — Editoval user (23. 05. 2012 18:24)

Re: konvergence rady

#5 23. 05. 2012 19:20

Re: konvergence rady

#6 23. 05. 2012 20:01 — Editoval user (23. 05. 2012 20:21)

Re: konvergence rady

#7 23. 05. 2012 20:27

Re: konvergence rady

#8 02. 06. 2012 13:37

Re: konvergence rady

#9 02. 06. 2012 14:20

Re: konvergence rady

Zápatí