Matematické Fórum

usr87654 · 02. 02. 2012 09:17

Ahoj, rad bych se zeptal na jednu vec ohledne monotonosti, mam funkci $f(x)$

$f(x) = \frac{x+3}{x-2}$

Jeji prvni derivace:

$f^{'}(x) = -\frac{5}{(x-2)^{2}}$

Pokud monotonost resim jako $f^{'}(x) = 0$ tak ta rovnice nema reseni a co to tedy rika o monotonosti?

Diky predem za radu.

Aquabellla

↑ usr87654:

Pro všechna x je derivace záporná, tudíž funkce je na svém celém definičním oboru klesající.

usr87654 · 02. 02. 2012 09:39

↑ Aquabellla:
Diky.

usr87654 · 02. 02. 2012 09:48

Jeste jeden dotaz ke konkavnosti / konvexnosti:

$f^{''}(x) = \frac{10}{(x-2)^{3}}$

takze je to kladne cislo coz by melo znamenat, ze je ryze konvexni ale podle grafu neni:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f% … F%28x-2%29

Aquabellla · 02. 02. 2012 10:45

↑ usr87654:

Ve jmenovateli máš třetí mocninu, takže když umocníš na třetí kladné číslo - výsledkem je kladné číslo (tudíž na tom intervalu je funkce konvexní), ale když umocníš na třetí záporné číslo, tak ti zůstane záporné (funkce je konkávní).
Vždycky musíš brát v úvahu i body nespojitosti, protože někdy dělají neplechu, jako třeba zde :-)

usr87654

↑ Aquabellla:

Takze inlexni bod ( $x=2$ ) urcuje, ze se v nem meni funkce z konvexni a konkavni nebo naopak.

Tzn. ze dosadim body z obou intervalu $(-\infty;2)$ a $(2;\infty)$ az podle nej urcuju, kdy je konvexni a kdy konkavni?

Diky.

Aquabellla · 02. 02. 2012 11:50

↑ usr87654:

Ano, přesně tak.

usr87654 · 02. 02. 2012 12:13

↑ Aquabellla:
Mohla bys mi poradit jeste s jednou veci? Mam fci f(x):

$f'(x) = \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$

jeji prvni derivace je:

$f'(x) = \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Jak ted urcim monotonost?

Postavim $f'(x)=0$ ale kdy plati $\frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}}{x^{2}} = 0$ resp. kdy je $\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}} = 0$ ? $\mathrm{e}$ je konstanta a nikdy nebude 0 nebo ne?

Diky.

Aquabellla · 02. 02. 2012 12:32

↑ usr87654:

Jelikož $x$ je ve jmenovateli exponentu funkce, tak výraz se nikdy nule rovnat nesmí. $x = 0$ je bod nespojitosti. Musíš tedy jen vyšetřit znaménka na intervalech $(-\infty; 0)$ a $(0; \infty)$

Rumburak · 02. 02. 2012 12:41

↑ usr87654:
Příště si k novému problému založ nové téma.
Máme funkci $f(x) = \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$ definovanou na $(-\infty, 0)\cup(0, +\infty)$ . K určování monotonie zde není nutno využívat
diferenciální počet (ostatně v přechozí úloze také ne), stačí uvážit, že na každém z intervalů $(-\infty, 0), (0, \infty)$ platí :

- funkce $x$ je rostoucí a neměnící znaménko, tedy
- funkce $x^{-1}$ je klesající, tedy
- funkce $-x^{-1}$ je rostoucí, tedy
- funkce $\mathrm{e}^{-x^{-1}}$ je rostoucí (protože $\mathrm{e}^t$ je rostoucí).

Pozor na to, že funkce f je rostoucí na každém z uvedených intervalů , ale na jejich sjednocení rostoucí NENÍ,
o čemž se můžeme přesvědčit výpočtem jednostranných limit této funkce v bodě 0. Tentýž problém je i u předchozí úlohy.