Matematické Fórum

stromboli · 02. 02. 2012 13:58

Ahoj, nevím jak vyřešit tento příklad:
V posloupnosti $(a_{n})_{n=1}^{\infty}$
je $a_{n+1}=a_{n} +\frac{3}{2}$ .
Číslo $a_{70}-a_{56}$ je rovno?

Díky za rady:-)

Juxtapose

Zásadní otázky jsou: Jaký je první člen posloupnosti?
Můžeme si z rekurentního vztahu vyjádřit a70 pomocí a56? Co se stane, když to dosadím?
Jak pak spočítám daný člen?

Edit: Pro kontrolu - výsledek je 21.

Sulfan · 02. 02. 2012 14:13 — Editoval Sulfan (02. 02. 2012 14:13)

↑ stromboli:
Ahoj,
protože vztah $a_{n+1}=a_{n} +\frac{3}{2}$ nám říká, že kdybychom věděli nějaký člen posloupnosti a chtěli vědět člen, který následuje bezprostředně za ním, tak by nám k němu stačilo přičíst 3/2. Konkrétně:
- za n dosadím 69: $a_{70}=a_{69}+\frac{3}{2}$
- za n dosadím 68: $a_{69}=a_{68}+\frac{3}{2}$
...

Takže člen $a_{70}=a_{69}+\frac{3}{2}=a_{68}+2 \cdot \frac{3}{2}=a_{67}+3\cdot \frac{3}{2}=...$

dokážeš teď zjistit, kolik se těch $\frac{3}{2}$ bude přičítat, pokud bychom chtěli vyjádřit člen $a_{70}$ pomocí členu $a_{56}$ , tedy bychom chtěli zjistit:

$a_{70}=a_{56}+ (?) \cdot \frac{3}{2}$

Rumburak

Ahoj.
Víme, že $a_{n+1}=a_{n} +\frac{3}{2}$ , jinak zapsáno : $a_{n+1}-a_{n} = \frac{3}{2}$ , rozumí se pro každé přirozené číslo n.
Takže například

$a_{57}-a_{56} = \frac{3}{2}$ ,
$a_{58}-a_{57} = \frac{3}{2}$ ,

sečtením těchto rovností máme

$a_{58}-a_{56} = 2 \cdot \frac{3}{2}$ .

Teď jde jen o to vtipně to zobecnit.

Cheop · 02. 02. 2012 14:14 — Editoval Cheop (03. 02. 2012 08:26)

↑ stromboli:
$a_2=a_1+\frac 32\\a_3=a_1+\frac 32+\frac 32=a_1+2\cdot\frac 32$
$a_{n+1}=a_1+n\cdot\frac 32$
$a_{70}=a_1+69\cdot\frac 32\\a_{56}=a_1+55\cdot\frac 32$
$a_{70}-a_{56}=a_1+69\cdot\frac 32-\left(a_1+55\cdot\frac 32\right)\\a_{70}-a_{56}=\frac 32\left(69-55\right)\\a_{70}-a_{56}=\frac 32\cdot 14=21$

Honzc · 02. 02. 2012 14:18

↑ stromboli:
První člen posloupnosti tě nemusí vůbec zajímat, protože vidíš, že každý další člen je o $\frac{3}{2}$ větší než ten předchozí. Stačí ti tedy vynásobit $\frac{3}{2}$ tolikkrát, kolik je rozdíl indexů daných členů (tedy $70-56$ )

stromboli · 02. 02. 2012 14:21

Super, už tomu rozumím. Velice děkuji za objasnění:)

Matematické Fórum

#1 02. 02. 2012 13:58

Posloupnost

#2 02. 02. 2012 14:07 — Editoval Juxtapose (02. 02. 2012 14:11)

Re: Posloupnost

#3 02. 02. 2012 14:13 — Editoval Sulfan (02. 02. 2012 14:13)

Re: Posloupnost

#4 02. 02. 2012 14:13 — Editoval Rumburak (02. 02. 2012 14:14)

Re: Posloupnost

#5 02. 02. 2012 14:14 — Editoval Cheop (03. 02. 2012 08:26)

Re: Posloupnost

#6 02. 02. 2012 14:18

Re: Posloupnost

#7 02. 02. 2012 14:21

Re: Posloupnost

Zápatí