Matematické Fórum

Marki · 28. 09. 2008 15:59

Prosím o pomoc této slovní úlohy: Čerpadlo o výkonu 5 l/s naplní nádrž za 2,5 hodiny. Za jak dlouho bude nádrž naplněna čerpadlem o výkonu 10 m3/h? Za jak dlouho bude nádrž naplněna, jestliže druhé čerpadlo zapojím za čtvrt hodiny po prvním? předem děkuji.

Pavel Brožek · 28. 09. 2008 22:15

Převedeme nejprve všechno na stejné jednotky (litry a sekundy), a? už se jimi dále nemusíme zabývat.

$2,5\,\textrm{h}=2,5\cdot3600\,\textrm{s}=9000\,\textrm{s}$
$10\,\frac{\textrm{m}^3}{\textrm{h}}=10\,\cdot\,\frac{1000\,\textrm{l}}{3600\,\textrm{s}}=\frac{25}{9}\,\frac{\textrm{l}}{\textrm{s}}$
$\frac14\,\textrm{h}=\frac14\cdot3600\,\textrm{s}=900\,\textrm{s}$

Čerpadlem o výkonu 5 litrů za sekundu se naplní za 9000s, objem nádrže je tedy $5\cdot9000=45000\,\textrm{l}$ . Počet litrů, které se vejdou do nádrže, podělíme počtem litrů, které druhé čerpadlo načerpá za sekundu a zíkáme tak čas, za který druhé čerpadlo naplní nádrž.

$\frac{45000}{\frac{25}{9}}=16200\,\textrm{s}=4,5\,\textrm{h}$

To je tedy odpověd na první otázku.

Za tu čtvrthodinu první čerpadlo načerpá $5\cdot900=4500\,\textrm{l}$ . Zbývá tedy načerpat $45000-4500=40500\,\textrm{l}$ . Čerpadla dále čerpají dohromady, jejich výkon se tedy sčítá $5+\frac{25}{9}=\frac{70}{9}\,\frac{\textrm{l}}{\textrm{s}}$ . Zbytek tedy načerpají za

$\frac{40500}{\frac{70}{9}}=\frac{36450}{7}\,\textrm{s}$

I s tou čtvrthodinou na začátku je to tedy $900+\frac{36450}{7}=\frac{42750}{7}\,\textrm{s}\approx6107\,\textrm{s}=1\,\textrm{h}\,41\,\textrm{m}\,47\,\textrm{s}$

Chrpa · 28. 09. 2008 22:19 — Editoval Chrpa (29. 09. 2008 09:49)

První čerpadlo má výkon dle zadání 5 l/s = 5*60*60 = 18000 l/h = 18 m^3/h
Naplní se při výkonu 18 m^3/h za 2,5 hodiny tj objem nádrže je 18*2,5 = 45 m^3
Druhé čerpadlo má výkon 10 m^3/h tj 45 m^3 se tímto čerpadlem bude plnit: 45/10 = 4,5 hodiny.

Druhým čerpadlem bude nádrž naplněna za 4,5 hodiny
Teď k druhé části příkladu:
První čerpadlo má výkon 18 m^3/h to znamená že 1/4 hodiny kdy pooběží samo naplní:
18/4 = 4,5 m^3 = 1/10 objemu celé nádrže.
Pak poběží obě čerpadla společně a za dobu, kterou označíme jako x musí naplnit zbývajících 9/10 objemu nádrže. Můžeme tedy sestavit rovnici:
$\frac{x}{2,5}+\frac{x}{4,5}=\frac{9}{10}$ rovnici upravíme a dostaneme:
$70x=101,25\nlx\,\approx\,1,44642$
Společně tedy budou plnit 9/10 nádrže 1,44642 hodiny a 1/4 hodiny běželo první čerpadlo samo, to znamená, že celkový čas plnění nádrže bude:
$1,44642+0,25\approx\,1,6964\(hodin)\approx\,\(1\,hodina)\,\(41\, minut)\,\(47\, vterin)$

halogan · 28. 09. 2008 22:58

Proč je to zadáno dvakrát? http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=4019

Cheop · 29. 09. 2008 12:22

↑ Chrpa:
$x=\frac{81}{56}\textrm\,{h}$
$x+\frac14=\frac{81+14}{56}=\frac{95}{56}\,\textrm{h}\approx\,1\textrm{[h]}\,41\textrm{[min]}\,47\textrm{[s]}$

Matematické Fórum

#1 28. 09. 2008 15:59

slovní úloha

#2 28. 09. 2008 22:15

Re: slovní úloha

#3 28. 09. 2008 22:19 — Editoval Chrpa (29. 09. 2008 09:49)

Re: slovní úloha

#4 28. 09. 2008 22:58

Re: slovní úloha

#5 29. 09. 2008 12:22

Re: slovní úloha

Zápatí