Matematické Fórum

chaotic123

Zadání: Najděte rovnice tečen k parabole $y = \frac{1}{2}x^{2} + 2$ , které procházejí bodem A = [1;2]

Jak to řeším já:

$y-{y_{0}} = f(x_{0})*(x-x_{0})$

Zderivuji: $\frac{1}{2}x^{2} + 2$ = $x_{0}$

Dosadím do rovnice: $y-2=1(x-2)$

Jenže výsledek je úplně jiný, nejen že mají vyjít dvě rovnice, ale také můj výsledek je naprosto chybný, pro inspiraci přikládám výsledek: $y=2$ , $y=2x$

Mockrát děkuji za odpověď, jsem trochu matematický střevo :X

Sulfan · 04. 02. 2012 09:08 — Editoval Sulfan (04. 02. 2012 09:15)

↑ chaotic123: Tady jde o to, že ten bod neleží na té parabole (stačí si zkusit dosadit souřadnice bodu, a nebude to vyhovovat). Tudíž stačí hledat přímku, která má směrnici rovnou derivaci funkce (paraboly) v obecném bodě $x_{0}$ a prochází bodem $A[1;2]$ a $X[x_{0},?]$ , kde X leží na parabole.

chaotic123 · 04. 02. 2012 09:14

↑ Sulfan:
No, ta přímka má rovnici x-y-1=0 v obecném tvaru, je to tak? A dál?

Sulfan · 04. 02. 2012 09:15

↑ chaotic123: Jak jsi na to přišel?

chaotic123 · 04. 02. 2012 09:20

Přímku, která má směrnici k a prochází bodem A = [a1,a2] zapíšeme rovnicí: y-a2 = k (x-a1) -> všiml jsem si chyby :D, prohodil jsem a1 a a2. Teď teda vychází x-y+1 = 0

Sulfan · 04. 02. 2012 09:27 — Editoval Sulfan (04. 02. 2012 09:28)

↑ chaotic123: Naprosto nevím, jak jsi na to přišel (dobře to není). Zkusím tě trochu navést:

Označme tečnu $p: y=kx+q$ , z vlastnosti derivace víme, že pro bod $X[x_{0};\frac{1}{2}x_{0}^{2}+2]$ na parabole bude mít tato tečna směrnici k rovnou derivaci této funkce v bodě $x_{0}$ . Tudíž jak jsi správně napsal $k=x_{0}$ .

Přímka bude mít tvar $y=x_{0} \cdot x+q$
a bude na ní ležet bod A i bod X, tudíž můžeme dosadit:

$\frac{1}{2}x_{0}^{2}+2=x_{0}\cdot x_{0}+q$ (bod X vyhovuje rovníci tečny)
$2=1\cdot x_{0}+q$ (bod A vyhovuje této rovnici tečny)

Řešením této soustavy rovnic dostaneme kýžené hodnoty $x_{0}$ a $q$ .