Matematické Fórum

chaotic123

Zadání: Najděte rovnice tečen ke grafu funkce: f(x)= $\frac{1}{x}$ , které procházejí bodem A=[-1;3]

Osobně bych to řešil tak, že bych zderivoval zadanou funkci, takže bude f´(x) = $-\frac{1}{x^{2}}$

Dosadil bych to do rovnice: y=kx+q (y= $-\frac{1}{x^{2}}+q$

Potom bych sestavil dvě rovnice o 2 neznámých (x, q)

$\frac{1}{x}=-\frac{1}{x^{2}}*x+q$
$3=\frac{1}{x^{2}}+q$

Ale za boha mi to nechce vyjít :(, jsou správně ty rovnice a počítám jen špatně numericky, nebo mám tu soustavu špatně sestavenou?

Vyjít má: y=2-x a y=-9x-6

vanok · 04. 02. 2012 13:13 — Editoval vanok (04. 02. 2012 13:15)

↑ chaotic123:,
Mas tam nepresnosti z pouzitim viet o derivacii a dotycniciach.
Napisal si spravne, ze
$f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}$ pre kazde x v obore definicie funkcie f : $D_f= D_{f'}$
Veta co mas pouzit, hovori, ze v kazdom bode $x_0$ z $D_f= D_{f'}$ ,
dotycnica, v tomto bode ma rovnicu $y= f'(x_0)(x-x_0)+ f(x_0)$
Cize musis pouzit tuto poslednu rovnicu na urcenie hladanych dotycnic.

chaotic123 · 04. 02. 2012 13:23

děkuji srdečně

vanok · 04. 02. 2012 13:28

↑ chaotic123:
Este mala poznamka, tu ide o hyperbolu a nie parabolu.

chaotic123 · 04. 02. 2012 13:37

To vím, že je to hyperbola, tak se zeptám, když už tě tu mám ;). Jsou odlišné rovnice tečny pro hyperbolu a parabolu? Já do toho nijak moc nevidím, tak bych byl moc rád za objasnění v tomhle ohledu, předem děkuji ;)

vanok · 04. 02. 2012 13:43

↑ chaotic123:↑ chaotic123:,
No nie su rozdiely, co sa tyka pouzitych viet.
Metoda co ti navrhujem, sa da vsade ( pokial su splnene hypotezy viet) pouzit.

Inac, ak mas problemy zo zapametanym tejto rovnice dotycnice
$y= f'(x_0)(x-x_0)+ f(x_0)$
mozes si ju zapamatat v tejto forme (ak sa ti to zda jednoduchsie...)
$\frac {y-f(x_0)}{x-x_0}= f'(x_0)$

chaotic123 · 04. 02. 2012 13:49

Jo, díky moc!!! :)

chaotic123 · 04. 02. 2012 14:35

Sakra, už to zkouším počítat celkem dlouhou dobu a pořád mi to nevychází :(, nešlo by, prosím, ještě trošku konkretizovat to řešení, přeci jen s tím obecným vzorcem sice něco zkouším, ale pořád mi to nějak nejde :(, nevím úplně jistě, jestli správně dosazuji... Dosazuji takto: f´(x0) = -1/x^2; (x-x0) = (x+1); f(x0)=3... Mám to správně?

Sulfan · 04. 02. 2012 18:00 — Editoval Sulfan (04. 02. 2012 18:01)

↑ chaotic123: Ahoj, pokud kolega vanok nebude mít nic proti, trochu bych rozvedl tvoje řešení pomocí dvou rovnic (jako v prvním příkladě na tečnu, který si sem dal).

Obě rovnice jsou správně sestaveny, jen bych psal například $x_{0}$ místo samotného $x$ , protože to $x_{0}$ , co hledáme je vlastně x-ová souřadnice bodu na hyperbole, kde se dotýká jí dotýká tečna:

$\frac{1}{x_{0}}=-\frac{1}{x_{0}^{2}}*x_{0}+q$
$3=\frac{1}{x_{0}^{2}}+q$

Můžeš napsat přesně, kde výpočet selhal?

chaotic123 · 04. 02. 2012 18:38

No, nejdůležitější chyba je ta, že se úplně ztrácím v tom, jestli x0 je hodnota toho zadaného bodu, kterým prochází tečna (podle té nuly bych selským rozumem soudil, že to tak je) nebo hodnota bodu, který mám vypočítat. No, výpočet selhal v místě, kdy jsem začal počítat rovnici, do které jsem dosadil hodnoty, které jsem zmínil o dva příspěvky výše, začíná slovem "Sakra" :D... Těhle typových příkladů máme ke zkoušce hrozně moc, problém je, že to nedokážu pochopit, takže se s každým příkladem trápím, i když jsou v podstatě typologicky úplně totožné... :( Navíc nevím, jestli teda mám používat tvou metodu, kdy vzniknou dvě rovnice o dvou neznámých, která mi přijde i snáze pochopitelnější, nebo metodu výše uvedenou, kdy dosazuji do té rovnice... Nebo je to prostě kombinace těchto dvou?

Děkuji ti za trpělivost!

Sulfan · 04. 02. 2012 18:49

↑ chaotic123: Můžeš si vybrat metodu jakou chceš, já ti zkusím ještě jednou napsat tu mojí podrobně, jak to označuju:

Vždy máme zadaný nějaký bod A[-1;3] a pak máme zadáno vyjádření křivku ve tvaru například $f(x)=\frac{1}{x}$ . Co jsem navrhoval je, že si nejdříve označíme bod na této křivce jako X a jeho první souřadnici označíme $x_{0}$ , potom určitě víme, že jeho druhá souřadnice bude $\frac{1}{x_{0}}$ , stačilo dosadit do funkčního vyjádření křivky.

Nakonec můžeme zderivovat funkci $f(x)=\frac{1}{x_{0}}$ , tedy $f'(x) = -\frac{1}{x_{0}^{2}}$ . Všimni si, že jsem rovnou označil derivaci i s indexem $x_{0}$ , protože víme, že do derivace dosazujeme přímo tu hodnotu bodu X (derivujeme v bodě dotyku - X je v bodě dotyku). Můžeme to opět označit jako $k=-\frac{1}{x_{0}^{2}}$

Takže celkem máme

1/ $A[-1;3]$
2/ $X[x_{0},\frac{1}{x_{0}}]$
3/ $k=-\frac{1}{x_{0}^{2}}$

Sestavím rovnici přímky:

obecně $y=kx+q$
po dosazení k:
$y=-\frac{1}{x_{0}^{2}} \cdot x+q$

Nyní bych postupně dosadil bod X i bod A a dostal ty dvě rovnice.

vanok · 04. 02. 2012 19:13

Akoze mas problemy z dosadenim do vzorcov, tak tu ti davam este malu pomoc:

Vieme ze $f(x)=\frac1x ;f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}$
Bod $A=[-1;3]$ sa nachadza na dotycnici danej rovnicou $y= f'(x_0)(x-x_0)+ f(x_0)$ ,
co znamena ze $3=f'(x_0)(-1-x_0)+ f(x_0)$
To ti da podmienku ktora musi platit pre $x_0$
$3=-\frac{1}{x_0^{2}}(-1-x_0)+\frac1{x_0}$
po zjednoduseni to da
$3=\frac{1}{x_0^{2}} +\frac 2{x_0}$
a nakoniec pre $x_0 \ne 0$
$3 x_0^2 - 2x_0 -1=0$

Lahko ukazes ze posledne rovnica ti da ze
$x_{01}=1$
alebo
$x_{02}= -\frac 13$
A odtial lahko dokoncis toto cvicenie.

Poznamka: Mozes pouzit aj metodu od kolegu Sulfan... jediny rozdiel je v tom ze v jeho metode, vychadza bez toho aby pouzil vzorec pre dotycnicu

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

, ktory som ja pouzil...

chaotic123 · 04. 02. 2012 19:15

Supeeeeeeeeeer, pochopeno, funguje to, spokojenost nejvyšší, oběma vám jsem vděčný a dávám samozřejmě kladné hodnocení :D, děkuji mnohokrát, snad mi i toto pomůže ke zdolání zkoušky z mat. analýzy :D, ještě jednou děkuji :)...

Matematické Fórum

#1 04. 02. 2012 12:56 — Editoval chaotic123 (04. 02. 2012 12:57)

Najděte rovnice tečen k parabole, které procházejí bodem

#2 04. 02. 2012 13:13 — Editoval vanok (04. 02. 2012 13:15)

Re: Najděte rovnice tečen k parabole, které procházejí bodem

#3 04. 02. 2012 13:23

Re: Najděte rovnice tečen k parabole, které procházejí bodem

#4 04. 02. 2012 13:28

Re: Najděte rovnice tečen k parabole, které procházejí bodem

#5 04. 02. 2012 13:37

Re: Najděte rovnice tečen k parabole, které procházejí bodem

#6 04. 02. 2012 13:43

Re: Najděte rovnice tečen k parabole, které procházejí bodem

#7 04. 02. 2012 13:49

Re: Najděte rovnice tečen k parabole, které procházejí bodem

#8 04. 02. 2012 14:35

Re: Najděte rovnice tečen k parabole, které procházejí bodem

#9 04. 02. 2012 18:00 — Editoval Sulfan (04. 02. 2012 18:01)

Re: Najděte rovnice tečen k parabole, které procházejí bodem

#10 04. 02. 2012 18:38

Re: Najděte rovnice tečen k parabole, které procházejí bodem

#11 04. 02. 2012 18:49

Re: Najděte rovnice tečen k parabole, které procházejí bodem

#12 04. 02. 2012 19:13

Re: Najděte rovnice tečen k parabole, které procházejí bodem

#13 04. 02. 2012 19:15

Re: Najděte rovnice tečen k parabole, které procházejí bodem

Zápatí