Matematické Fórum

TeSi · 05. 02. 2012 14:05

Dobrý den,

řeším následující příklad, nejen, že ho nemůžu vyřešit, ale není mi ani jasný postup řešení. Řešili jsme to někdy v prvním ročníku, ale nyní si znovu při opakování nemohu vzpomenou, jak to mám vyřešit.

$\text{cotg}(4x-\frac{\pi}{3})=-\sqrt{3}$

Děkuji za pomoc.

Alivendes

Ahoj :)

Na tom není nic těžkého

$\text{cotg}(4x-\frac{\pi}{3})=-\sqrt{3}$

1)
$4x-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}$
$4x=\frac{7\pi}{6}+k\pi$
$x=\frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{4}$

Druhý kořen získáš obdobně

TeSi · 05. 02. 2012 14:17

Děkuji za Tvoji reakci. Můžeš mi prosím objasnit první řádek řešení, resp. jak jsi přišel na $\frac{5\pi }{6}$ ?

Díky.

zdenek1 · 05. 02. 2012 14:38

↑ TeSi:
Tabulkové hodnoty goniometrických funkcí se musíš naučit nazpaměť. Jinak to nejde.

↑ Alivendes:
Kotangens "druhý" kořen nemá.

TeSi · 05. 02. 2012 14:41

Zdeňku, o to jsem se samozřejmě snažil. Tuhle tabulku (http://www.matweb.cz/goniometrie - skoro dole) mám před sebou, ale stejně mi to není jasné.

Alivendes

↑ zdenek1:
Pro Cotanghens jsem ještě našel hodnotu $\frac{11\pi}{6}$

↑ TeSi:

Tak si to vezmi takhle:

$\text{cotg}(4x-\frac{\pi}{3})=-\sqrt{3}$
$4x-\frac{\pi}{3}=t$
$\text{cotg}(t)=-\sqrt{3}$

Tohle by jsi uměl ?

TeSi · 05. 02. 2012 14:47

Přes tu substituci mi to přijde jasnější, ale stejně neumím dojít ke konkrétním kořenům. Napsáno jednodušeji, nevím jakou hodnotu má ,,mínus druhá odmocnina ze tří". Ve stupních je to 30, ale v radiánech??? Další problém vidím v tom, že mi absolutně není jasné, kde berete druhé řešení. To např. ani u sinusových rovnic. Díky za trpělivost.

Alivendes · 05. 02. 2012 14:51

↑ TeSi:

Na to jsou tabulky :)

Podívej se sem

TeSi · 05. 02. 2012 14:54 — Editoval TeSi (05. 02. 2012 15:04)

No vida ;) - těžko se to naučím nazpamět, ale to už je můj problém, díky.

Objasníte mi ještě ta druhá řešení (resp. jak přijdu na druhý kořen)?

Alivendes

To spíš by to měla objasnit wikipedie která to máš špatně tak napůl.

Tangens a Cotangens mají periodu 180°, ale úhel může mít velikost až 360°

Takže v podstatě ten druhý kořen (330°) je to co jsi spočítala (150°)+180° jako perioda.

Většinou ale je zadání pro rovnici s tangens a cotangens, aby se našli úhly v intervalu 0° až 180°.
Je-li zkoumaný interval 0° až 360°, druhý kořen by tam měl být.

TeSi · 05. 02. 2012 15:08 — Editoval TeSi (05. 02. 2012 15:10)

Tak na druhé řešení jsem přišel. Díky všem za pomoc. Kdyby jste se někdo nudil, mohl byste mi ještě zdůvodnit, v jakých případech se dělá podmínka (u některých rovnic jsme jí dělali) a jak se dá přijít na ty hodnoty i bez tabulky (ve škole na to učitelka používá ,,nějakou kružnici" na které ty body vyhledává?

edit: Je tedy nutné u tg a cotg vůbec druhé řešení hledat? U sin a cos asi ano, že?

Alivendes

Tvá učitelka zajisté používá jednotkovou kružnici

Podmínky se dělají u zlomků, jako u normálních funkcí s ,,písmenky,, :)

TeSi · 05. 02. 2012 15:13 — Editoval TeSi (05. 02. 2012 15:16)

To je blázinec :), to už je jednoduší ta tabulka.

edit: Přišel jsem i na ty podmínky. Ona to řeší tak, že např u tangens se "to v závorce" nesmí rovnat $\frac{\pi }{2}+k.\pi$

Což odpovída vždy "pomlčce v tabulce z wiki".

jelena · 05. 02. 2012 15:45

↑ Alivendes:

Zdravím,

až budeš mít čas, doplň, prosím, vysvětlení, co znamená "druhý kořen" u tangensu a u kotangensu a porovnejte, prosím s důvodem "druhého kořenu" u sinu a u kosinu. Rozumíme, že mluvíme o řešení goniometrických rovnic ve tvaru $\sin(x)=a$ nebo $tan(x)=a$ . Co má Wikipedie napůl špatně?

Alivendes napsal(a):
To spíš by to měla objasnit wikipedie která to máš špatně tak napůl.

Tangens a Cotangens mají periodu 180°, ale úhel může mít velikost až 360°

Děkuji, omluva za rušení v tématu.

Alivendes · 05. 02. 2012 15:46

↑ jelena:

Alespoň pro mě to je poněkud matoucí.

jelena · 05. 02. 2012 16:26

↑ Alivendes:

Tabulka je možná nepřehledná, ale problém bych viděla v tom, že při řešení goniometrických rovnic s tg nebo cotg $\mathrm{tan}(x)=a$ hledáme jen jeden kořen a používáme periodu $\pi$ , tedy řešení je nekonečně mnoho ve tvaru $x=\mathrm{arctg}(a)+k\pi$ . Žádný "druhý kořen" nehledáme, jelikož nalezneme pravě takový, který je již ošetřen periodou.

Naopak pro $\sin(x)=a$ máme 2 různé kořeny na intervalu od $0$ do $2\pi$ a ke každému takovému kořenu doplňujeme periodu $2\pi$ . Proto řešení je $x_1=\mathrm{arcsin}(a)+2k\pi$ a $x_2=\pi-\mathrm{arcsin}(a)+2k\pi$ . Nejlépe je to vidět pravě na jednotkové kružnici.

Rozumíme se? Děkuji.

K zapamatování tabulky - stačí si pamatovat jen hodnoty sin, cos, zbytek se dopočte v hlavě :-)

Alivendes · 05. 02. 2012 16:37

Já vím, je mi to jasné. Wiki používá periodu $2k\pi$

zdenek1 · 05. 02. 2012 16:40

↑ Alivendes:

Pro Cotanghens jsem ještě našel hodnotu $\frac{11\pi}{6}$

A kolik je $\frac{5\pi}6+\pi$ ?

Alivendes · 05. 02. 2012 16:51

↑ zdenek1:

Už jsem to popsal výše, díky :)

jelena · 05. 02. 2012 18:40

↑ Alivendes:

jen pro pořádek - Wiki u jednotlivých funkcí (tg, cotg, sin, cos) používá periody správně ( $\pi$ , $\pi$ , $2\pi$ , $2\pi$ ) - zkus proklikat, pokud najdeš chybu, poprosíme některého místního Wikipedistu o opravu.

Tabulka hodnot je sestavena pro 360 stupňů, aby se protočila celé jednotková kružnice (a také aby se postřehla změna znamének u hodnot sin a kosinu). Že se do tabulky dostalo opakovaně hodnoty tg, cotg pro interval od 180 do 360 neznamená, že Wiki považuje periodu těchto funkcí za 360 (nebo $2\pi$ ), jen zaplnili prázdné buňky.

Už je všechno dohovořeno? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 05. 02. 2012 14:05

Gon. fce

#2 05. 02. 2012 14:13 — Editoval Alivendes (05. 02. 2012 14:14)

Re: Gon. fce

#3 05. 02. 2012 14:13 Příspěvek uživatele Hanis byl skryt uživatelem Hanis. Důvod: too late

#4 05. 02. 2012 14:17

Re: Gon. fce

#5 05. 02. 2012 14:38

Re: Gon. fce

#6 05. 02. 2012 14:41

Re: Gon. fce

#7 05. 02. 2012 14:44 — Editoval Alivendes (05. 02. 2012 14:45)

Re: Gon. fce

#8 05. 02. 2012 14:47

Re: Gon. fce

#9 05. 02. 2012 14:51

Re: Gon. fce

#10 05. 02. 2012 14:54 — Editoval TeSi (05. 02. 2012 15:04)

Re: Gon. fce

#11 05. 02. 2012 15:06 — Editoval Alivendes (05. 02. 2012 15:09)

Re: Gon. fce

#12 05. 02. 2012 15:08 — Editoval TeSi (05. 02. 2012 15:10)

Re: Gon. fce

#13 05. 02. 2012 15:10 — Editoval Alivendes (05. 02. 2012 15:14)

Re: Gon. fce

#14 05. 02. 2012 15:13 — Editoval TeSi (05. 02. 2012 15:16)

Re: Gon. fce

#15 05. 02. 2012 15:45

Re: Gon. fce

Alivendes napsal(a):

#16 05. 02. 2012 15:46

Re: Gon. fce

#17 05. 02. 2012 16:26

Re: Gon. fce

#18 05. 02. 2012 16:37

Re: Gon. fce

#19 05. 02. 2012 16:40

Re: Gon. fce

#20 05. 02. 2012 16:51

Re: Gon. fce

#21 05. 02. 2012 18:40

Re: Gon. fce

Zápatí