Matematické Fórum

Pavel · 30. 09. 2008 09:54

Sestrojte křivku

$\lim_{n\to\infty}(|x|^n+|y|^n+|x+y|^n)=1,\qquad x,\,y\in\mathbb R.$

Pavel Brožek · 30. 09. 2008 10:15

Myslím, že by to mělo vypadat takhle:

Pavel · 30. 09. 2008 10:25 — Editoval Pavel (30. 09. 2008 12:27)

To byla rychlost :-) Pěkně, je to tak.

S Marianem jsme se bavili o tom, že je to zvláštní, že má křivka podobný tvar jako

$|x|+|y|+|x+y|=1,\qquad x,\,y\in\mathbb R.$

Marian · 30. 09. 2008 12:51 — Editoval Marian (30. 09. 2008 12:54)

↑ BrozekP:

Chce to důkaz - pozdně záříjový!
:-)

Na tvar oné křivky se dá přijít třeba volbou vysokého n zde.

Pavel Brožek

Představme si prostor $\mathbb{R}^3$ a v něm rovinu $z=x+y$ .

Řešením

$\lim_{n\to\infty}(|x|^n+|y|^n+|z|^n)=1$ ,

je zřejmě povrch krychle (bez hran a vrcholů) se středem v počátku a hranou o velikosti 2. Řešení původní rovnosti získáme tak, že uděláme průnik tohoto povrchu a roviny $z=x+y$ a promítneme do roviny $z=0$ .

Rovnici

$|x|+|y|+|z|=1$

splňují body na povrchu osmistěnu se středem v počátku a vrcholy na osách. Průmět průniku roviny $z=x+y$ a povrchu osmistěnu do roviny $z=0$ má podobný tvar jako řešení původní rovnice (to jen tak pro zajímavost).

Příklad jsem ale původně vyřešil jinak:

Zřejmě nemůže být ani jedno z čísel $|x|,\, |y|, \,|x+y|$ větší než jedna, jinak by limita byla nekonečno. Pokud by všechna tato čísla byla menší než jedna, pak by limita byla nula. Jedno z těchto čísel tedy musí být rovno 1. Pokud by bylo rovno jedné i jiné z těchto čísel, limita by byla 2. Proto musí být rovno jedné právě jedno z čísel $|x|,\, |y|,\, |x+y|$ a ostatní musí být menší než jedna. To už se snadno vyřeší.

Pavel Brožek · 30. 09. 2008 13:27

Pro zajímavost přidám křivky:
fialová - n=20
červené - n=1; 1,2; 2; 3; 4; 5
azurové - n=0,9; 0,5

Marian · 30. 09. 2008 13:30 — Editoval Marian (30. 09. 2008 13:32)

↑ BrozekP:
Abychom se mohli vyhnout úvaze o jedničce, bylo by lepší ji nahradit třeba Pi, tedy zkonstruovat křivku danou implicitně vztahem
$\lim_{n\to\infty}\left (|x|^n+|y|^n+|x+y|^n\right )=\pi .$

Nebo ještě lépe, řešit obecně a zadat křivku vztahem

$\lim_{n\to\infty}\left (|x|^n+|y|^n+|x+y|^n\right )=a,\qquad a>0.$

Osobně jsem úlohu řešil jinak (myslím tu obecnou s a). Metodu prozatím utajím.

PS. To jsem rád, že tahle úloha se chytla. Hned je tady několik hezkých úvah doplněných obrázkem. Případ pro n<1 je líbivý.

Pavel Brožek · 30. 09. 2008 13:46

↑ Marian:

Já myslím, že ten můj postup vede celkem zřejmě k tomuto výsledku:

$a=0$ - Řešením je "vnitřek" útvaru na obrázku ↑ BrozekP:.
$a=1$ - Řešením je křivka na tomté? obrázku.
$a=2$ - Řešením jsou body [0,1], [1,0], [1, -1], [0,-1], [-1, 0], [-1, 1]
$a\in\mathbb{R}\setminus\{0, 1, 2\}$ - Úloha nemá řešení.

Pokud to tak není, tak mi asi něco uniká :-)

Marian · 30. 09. 2008 14:21

↑ BrozekP:
Souhlas! Pletu si to s křivkou, která by byla zadána takto
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|x|^n+|y|^n+|x+y|^n}=a,\qquad a>0.$

Pavel Brožek

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|x|^n+|y|^n+|x+y|^n}=\lim_{n\to\infty}a\sqrt[n]{|\frac xa|^n+|\frac ya|^n+|\frac xa+\frac ya|^n}=a\cdot\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac xa|^n+|\frac ya|^n+|\frac xa+\frac ya|^n}$

Zavedeme substituci $s=\frac xa,\,t=\frac ya$ a máme rovnost

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|s|^n+|t|^n+|s+t|^n}=1\qquad(1)$

Pokud je dvojice (s, t) řešením

$\lim_{n\to\infty}(|s|^n+|t|^n+|s+t|^n)=1$ ,

pak je i řešením rovnice (1). Podívám se ještě na to, jak ukázat, že nejsou další řešení. (Případně se je pokusím najít.)

Marian · 30. 09. 2008 14:50 — Editoval Marian (30. 09. 2008 14:53)

↑ BrozekP:
Využívám toho, že lze ukázat pro kladná a_i a přirozené k
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{{\small{\sum_{i=1}^{k}a_i^n}}}=\max_{1\le i\le k}\, a_i.$

Odtud rovnice křivky
$\max\, (|x|,|y|,|x+y|)=1.$

Pavel Brožek · 30. 09. 2008 15:16

↑ Marian:

Ano, přesně to jsem teď chtěl ukázat :-)

Jedno z čísel $|x|,\, |y|,\, |x+y|$ je alespoň tak velké jako obě zbylá. Předpokládejme, že je to |x|. Pak platí

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|x|^n+|y|^n+|x+y|^n}=\lim_{n\to\infty}|x|\sqrt[n]{1+$\frac{|y|}{|x|}$^n+$\frac{|x+y|}{|x|}$^n}=|x|$

(stejně by se ukázalo pro |y|, resp. |x+y|, že je limita rovna |y|, resp. |x+y|)

Limita tedy "vyhodí" maximum těchto tří čísel. Hledáme tedy takové dvojice (x, y), pro které platí

$\max\{|x|,\,|y|,\,|x+y|\}=a$

Řešení je zobrazeno na obrázku:

Lishaak · 30. 09. 2008 19:13

↑ Marian:

Mozna trosku off topik panove, ale strasne se mi zalibila to implicitni rovnice pro popis tvaru srdce, ktera je v tom nastroji na ukazku. Nekde uz jsem videl nejakou pekne slozitou parametrickou rovnici pro podobny tvar, ale nikdy me nenapadlo, ze se to da udelat az takhle jednoduse. Kdo by ihned nevidel, jak se na takovou rovnici prijde, doporucuju umazat z rovnice tu absolutni hodnotu a podivat se na vysledek. Opravdu genialne jednoducha myslenka.

Marian · 30. 09. 2008 22:07

↑ Lishaak:

Taková více komplikovaná rovnice tvaru "srdce" je k dispozici v knize od Zdeňka Opavy Matematika kolem nás. Viděl jsem ji tam před relativně dlouhou dobou, totiž je to circa 6 let.

Pavel · 01. 10. 2008 10:47 — Editoval Pavel (01. 10. 2008 10:47)

↑ Marian:

Tu knihu jsem před měsícem koupil v antikvariátu :-) Je tam. Jinak obrázky grafů "srdce" jsou tady:

http://www.mathematische-basteleien.de/heart.htm

Matematické Fórum

#1 30. 09. 2008 09:54

Pozdně zářijová křivka

#2 30. 09. 2008 10:15

Re: Pozdně zářijová křivka

#3 30. 09. 2008 10:25 — Editoval Pavel (30. 09. 2008 12:27)

Re: Pozdně zářijová křivka

#4 30. 09. 2008 12:51 — Editoval Marian (30. 09. 2008 12:54)

Re: Pozdně zářijová křivka

#5 30. 09. 2008 13:17 — Editoval BrozekP (30. 09. 2008 13:43)

Re: Pozdně zářijová křivka

#6 30. 09. 2008 13:27

Re: Pozdně zářijová křivka

#7 30. 09. 2008 13:30 — Editoval Marian (30. 09. 2008 13:32)

Re: Pozdně zářijová křivka

#8 30. 09. 2008 13:46

Re: Pozdně zářijová křivka

#9 30. 09. 2008 14:21

Re: Pozdně zářijová křivka

#10 30. 09. 2008 14:38 — Editoval BrozekP (30. 09. 2008 15:18)

Re: Pozdně zářijová křivka

#11 30. 09. 2008 14:50 — Editoval Marian (30. 09. 2008 14:53)

Re: Pozdně zářijová křivka

#12 30. 09. 2008 15:16

Re: Pozdně zářijová křivka

#13 30. 09. 2008 19:13

Re: Pozdně zářijová křivka

#14 30. 09. 2008 22:07

Re: Pozdně zářijová křivka

#15 01. 10. 2008 10:47 — Editoval Pavel (01. 10. 2008 10:47)

Re: Pozdně zářijová křivka

Zápatí