Matematické Fórum

obrazek · 06. 02. 2012 09:55

Krásné pondělí, potřebovala bych radu s tímto příkladem:

určete vzájemnou polohu přímky a kružnice:

$x^{2}+y^{2}=65$

$2x+3y+13\sqrt{5}=0$

Měla by vyjít tečna, ale mně vychází vnější přímka a nemůžu přijít na to, kde dělám chybu.

Děkuji za rady a pomoc.

janca361 · 06. 02. 2012 10:01

obrazek napsal(a):
nemůžu přijít na to, kde dělám chybu.

Napiš svůj postup, budeme hledat chybu ;)

obrazek · 06. 02. 2012 10:15

↑ janca361:

z druhé rovnice jsem vytkla x

$x=\frac{-3y-13\sqrt{5}}{2}$

dosadila do 1.
vyšlo:

$11y^{2}+78y\sqrt{5}+715=0$

a D mně pak vyšel - 1040

vanok · 06. 02. 2012 11:05 — Editoval vanok (06. 02. 2012 11:13)

Ahoj ↑ obrazek:,
Geometricka metoda riesenia tvojho problemu.

Priamka $(D)$ rovnice (v ortogonalnom repere)
$ux + vy + h = 0$
ma vzdialenost od bodu $H(x;y)$
$D_H= \frac {|ux+vy+h|}{\sqrt{u^2 + v^2}}$
V tvojom pripade kruznica ma stred v $O(0;0)$ a jej polomer je $\sqrt {65}$
A vzdialenost bodu O od tvojej priamky $(D)$
$2x+3y+ 13\sqrt{5}=0$
je
$D_O =\frac {|2*0+3*0+13\sqrt 5|}{ \sqrt{2^2 + 3^2}}=\sqrt {65}$
Toto ti zarucuje ze tvoje tvrdenie je skutocne pravdive: dana priamka je dotycnica k danej kruznici.

Cheop · 06. 02. 2012 11:18 — Editoval Cheop (06. 02. 2012 12:45)

↑ obrazek:
Ta kvadratická rovnice vyjde:
$13y^2+78\sqrt 5y+585=0$
$x=\frac{-3y-13\sqrt 5}{2}\,\Rightarrow\\x^2=\frac{9y^2+78\sqrt 5 y+845}{4}$
$\frac{9y^2+78\sqrt 5 y+845}{4}+y^2=65\\13y^2+78\sqrt 5y+845=260\\13y^2+78\sqrt 5y+585=0\\D:\,=5\cdot 78^2-4\cdot 13\cdot 585=30420-30420=0\,\Rightarrow\\\text{přímka je tečnou kružnice}$