Matematické Fórum

Lukhas · 06. 12. 2011 22:02

$(\mathrm{\frac{1}{2}})^{-x}-(\mathrm{\frac{1}{2}})^{x-1}\ge 1$

prosím aspoň pár prvních kroků jak si to upravit, aby mi z toho vzniklo něco, z čeho můžu pak dál vycházet, děkuji

((:-)) · 06. 12. 2011 22:10 — Editoval ((:-)) (06. 12. 2011 22:12)

↑ Lukhas:

Nahradila by som $$\frac 12$^x = a$ .

Potom

$\frac 1a - \frac {a}{\frac 12} - 1 \geq 0$

$\frac 1a - 2a - 1 \geq 0$

Lukhas · 06. 12. 2011 22:14

děkuji

jelena · 07. 02. 2012 00:05

↑ paha154:

Zdravím,

zůstaneš u nerovnice $2a^{2}+a-1\ge 0$ , dle Tvého řešení $a$ náleží intervalu (-oo, -1>U<1/2, +oo). Ovšem z podmínky $$\frac 12$^x = a$ platí, že $a$ může být pouze kladné (viz vlastnost exponenciálních funkcí). Tedy $$\frac 12$^x$ je z intervalu <1/2, +oo).

Už se podaří dokončit? Děkuji.

jelena · 07. 02. 2012 11:34

↑ paha154:

V tomto případě bych použila graf funkce $y=$\frac 12$^x$ a na osu y bych vyznačila interval od 1/2 do +oo, potom bych k tomu našla odpovídající interval pro x.

Ovšem koukám, že Tobě se podařilo z nerovnice $\frac{1}{a}-2a-1\ge 0$ udělat $2a^{2}+a-1\ge 0$ , což není dobře. Tedy ani mé doporučení neplatí (ohledně intervalu řešení, jelikož se vztahovalo k poslední upravené nerovnici). Princip zůstane stejný, ale ještě si projdi úpravy.

Já už bych se na to dostala podívat až pozdě večer.

jelena · 07. 02. 2012 16:07

↑ paha154:

děkuji, ale pořád se mi to nezdá v pořádku. Úpravy od zadání:

$$\frac{1}{2}$^{-x}-$\frac{1}{2}$^{x-1}\ge 1$

$$\(\frac{1}{2}$^{x}\)^{-1}-2$\frac{1}{2}$^{x}-1\ge 0$

substituce $$\frac 12$^x = a$

$\frac{1}{a}-2a-1\ge 0$ a je nezáporné, vynásobím a, také (-1), proto se změní znak nerovnosti:

$2a^2+a-1\le 0$ V pořádku? Děkuji.

jelena · 07. 02. 2012 20:41

↑ paha154:

už rozumím, při Tvé substituci $2^{x}=a$ máme $a^{2}-a-2\ge 0$ , potom $a$ náleží intervalu (-oo, -1>U<2, +oo). Ovšem $a$ (nebo po substituci $2^x$ ) může být pouze kladné, z intervalů pro a můžeme použit jen <2, +oo).

Tedy můžeme zapsat $2^{x}\ge 2$ (což je totéž, jako $2^{x}$ náleží intervalu <2, +oo).
Řešíme: $2^{x}\ge 2$
$2^{x}\ge 2^1$
$x\ge 1$

-----------------------------------
Podmínku, že $2^x\ge 1$ jsi domyslel navíc, odnikud neplyne.

Je to teď v pořádku?

jelena · 07. 02. 2012 21:06

Interval (-oo, -1>U<2, +oo) platí pro substituci, tedy pro a - ano, platí.

Proto už místo a vrátím zpět $2^x$ . Z vlastností exponenciální funkce platí, že $2^x>0$ (pro každou exponenciální funkci). Proto z celého intervalu platného pro a po substituci můžeme používat jen jeho "pravou část" <2, +oo).

Úplně správně bychom mohli napsat: substituce $2^{x}=a$ , odsud $a>0$ . Po použití substituce řešením nerovnice $a^{2}-a-2\ge 0$ je a náleží (-oo, -1>U<2, +oo) a zároveň a>0. Odsud a nalezi <2, +oo).

a pokračujeme řešením nerovnice po návratu od substituce:
$2^{x}\ge 2$
$2^{x}\ge 2^1$
$x\ge 1$
x náleží <1, +oo)

V pořádku?

jelena · 07. 02. 2012 23:41

↑ paha154:

není za co, také děkuji. Označím za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2011 22:02

Exponenciální nerovnice

#2 06. 12. 2011 22:10 — Editoval ((:-)) (06. 12. 2011 22:12)

Re: Exponenciální nerovnice

#3 06. 12. 2011 22:14

Re: Exponenciální nerovnice

#4 06. 02. 2012 22:21 Příspěvek uživatele paha154 byl skryt uživatelem paha154. Důvod: FIN

#5 07. 02. 2012 00:05

Re: Exponenciální nerovnice

#6 07. 02. 2012 11:24 Příspěvek uživatele paha154 byl skryt uživatelem paha154. Důvod: FIN

#7 07. 02. 2012 11:34

Re: Exponenciální nerovnice

#8 07. 02. 2012 12:52 Příspěvek uživatele paha154 byl skryt uživatelem paha154. Důvod: FIN

#9 07. 02. 2012 16:07

Re: Exponenciální nerovnice

#10 07. 02. 2012 17:16 Příspěvek uživatele paha154 byl skryt uživatelem paha154. Důvod: FIN

#11 07. 02. 2012 17:19 Příspěvek uživatele paha154 byl skryt uživatelem paha154. Důvod: FIN

#12 07. 02. 2012 20:41

Re: Exponenciální nerovnice

#13 07. 02. 2012 20:56 Příspěvek uživatele paha154 byl skryt uživatelem paha154. Důvod: FIN

#14 07. 02. 2012 21:06

Re: Exponenciální nerovnice

#15 07. 02. 2012 21:09 Příspěvek uživatele paha154 byl skryt uživatelem paha154. Důvod: FIN

#16 07. 02. 2012 23:41

Re: Exponenciální nerovnice

Zápatí