Matematické Fórum

semik · 29. 09. 2008 23:27

Zdravím. Počítám tento příklad a stále mi nevychází podle výsledků.
$(2-i\sqrt{2})^7$ .
Výsledek má být $-208 + 344i\sqrt{2}$ , ale mě vychází $464 + 344i\sqrt{2}$ . Tak pokud by to někomu vyšlo správně mohl by mi sem napsat postup at vím kde mám chybu. Je to docela dlouhý výpočet i na TeX, ale pokud budete chtit tak vam sem ten můj postup prepisu.

Marian · 29. 09. 2008 23:46

Neměl by v tom být problém. Můžeš klidně nejprve zkusit drobně upravit:
$(2-\mathrm{i}\sqrt{2})^7=\left (\sqrt{2}\left (\sqrt{2}-\mathrm{i}\right )\right )^7=8\sqrt{2}\left (\sqrt{2}-\mathrm{i}\right )^7=\nl =8\sqrt{2}\left ({7\choose 7}\sqrt{2^7}-{7\choose 1}\sqrt{2^6}\mathrm{i}+{7\choose 2}\sqrt{2^5}\mathrm{i}^2-{7\choose 3}\sqrt{2^4}\mathrm{i}^3+{7\choose 4}\sqrt{2^3}\mathrm{i}^4-{7\choose 5}\sqrt{2^2}\mathrm{i}^5+{7\choose 6}\sqrt{2}\mathrm{i}^6-{7\choose 7}\mathrm{i}^7\right )=...$

pohodak · 29. 09. 2008 23:56

${7 \choose 0} *2^7*i^0*(\sqrt2)^0+{7 \choose 1} *2^6*i^1*(\sqrt2)^1+{7 \choose 2} *2^5*i^2*(\sqrt2)^2+{7 \choose 3} *2^4*i^3*(\sqrt2)^4+{7 \choose 4} *2^3*i^4*(\sqrt2)^4+{7 \choose 5} *2^2*i^5*(\sqrt2)^5+{7 \choose 6} *2^1*i^6*(\sqrt2)^6+{7 \choose 7} *2^0*i^7*(\sqrt2)^7=1*128*1*1-7*64*i*\sqrt2-21*32*2+35*32*i*\sqrt2+35*32-21*16*i*\sqrt2-7*16+8*i*\sqrt2=-208+344*i*\sqrt2$

Môžeš pozrie? na moju stránku:

http://pohodovamatematika.sk

Zatiaľ sa týka učiva ZŠ a SŠ, takže ak sa ti páči môžeš odporuči? ďalej.

Pavel Brožek · 29. 09. 2008 23:56

$(2-i\sqrt{2})^7=2^7+7\cdot2^6\cdot(-\textrm{i}\sqrt2)+21\cdot2^5\cdot(-\textrm{i}\sqrt2)^2+35\cdot2^4\cdot(-\textrm{i}\sqrt2)^3+35\cdot2^3\cdot(-\textrm{i}\sqrt2)^4+21\cdot2^2\cdot(-\textrm{i}\sqrt2)^5+7\cdot2\cdot(-\textrm{i}\sqrt2)^6+(-\textrm{i}\sqrt2)^7=\nl 128+ 448\cdot(-\textrm{i}\sqrt2)+672\cdot(-2)+560\cdot(-2)\cdot(-\textrm{i}\sqrt2)+280\cdot4+84\cdot4\cdot(-\textrm{i}\sqrt2)+14\cdot(-8)+(-8)\cdot(-\textrm{i}\sqrt2)=\nl =128-1344+1120 -112+(448-1120+336-8)\cdot(-\textrm{i}\sqrt2)=-208+334\cdot\textrm{i}\sqrt2$

pohodak · 30. 09. 2008 00:02

${7 \choose 0} *2^7*i^0*(\sqrt2)^0+{7 \choose 1} *2^6*i^1*(\sqrt2)^1+{7 \choose 2} *2^5*i^2*(\sqrt2)^2+{7 \choose 3} *2^4*i^3*(\sqrt2)^4+$

${7 \choose 4} *2^3*i^4*(\sqrt2)^4+{7 \choose 5} *2^2*i^5*(\sqrt2)^5+{7 \choose 6} *2^1*i^6*(\sqrt2)^6+{7 \choose 7} *2^0*i^7*(\sqrt2)^7=$

$1*128*1*1-7*64*i*\sqrt2-21*32*2+35*32*i*\sqrt2+35*32-21*16*i*\sqrt2-7*16+8*i*\sqrt2=-208+344*i*\sqrt2$

Som zelenáč, je to jasné.

Dúfam, že teraz to zobrazí správne.

jelena · 30. 09. 2008 00:03 — Editoval jelena (30. 09. 2008 00:04)

Zdravím vás :-)

něco mi říka, že alespoň pro kontrolu táto cesta bude meně dramatická (jen jsem neoverovala, co je více estetické "na osmou a podělit" nebo "na šestou a vynasobit"):

$\frac{(((2-i\sqrt{2})^2)^2)^2}{2-i\sqrt{2}}$

Marian · 30. 09. 2008 06:55

↑ jelena:

No jo, jeleno, ale jak nadpis napovídá, patrně těžiště tohoto příkladu spočívá na binomické větě (přímé umocňování na sedmou). Ale ten tvůj postup se mi zdá hezčí.

Zdravím tímto.

semik · 30. 09. 2008 17:01

Tak klobouk dolu před všema co si brali svůj volný čas a datlovali ten TeX. A jelikož vám to tak hezky jde tak vám přeci nedám pokoje :-D

Určete x tak, aby čtvrtý člen binomického rozvoje výrazu $(4x-\frac{1}{3x})^8$ byl roven -14.

Řešil jsem to tak že jsem si zjistil jaky je n-tý (4ý) člen bin. rozvoje a postavil rovno -14.
Je tam nadherne množství vsech moznych exponentů a navíc, prý máme v knížce špatný výsledek takže to ani nemám podle čeho zkontrolovat.

Za všechny rady předem diky.

Pavel Brožek · 30. 09. 2008 18:25

↑ semik:

${8\choose3}\cdot(4x)^5\cdot$-\frac1{3x}$^3=-14\nl 56\cdot1024x^5\cdot$-\frac{1}{27x^3}$=-14\nl \frac{57344}{27}x^2=14\nl x^2=\frac{27}{4096}\nl x=\pm\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4096}}=\pm\frac{3\sqrt{3}}{64}$

semik · 30. 09. 2008 18:35 — Editoval semik (30. 09. 2008 18:50)

↑ BrozekP:
Fajn diky vyšlo mi to stejně.

Další dotazek.

$(1+i)^6$ se dá řešit taky Binomickou větou.(Výsledek je -8i) Avšak po náš se to chce přes Moivreovu větu.
Na http://www.matematika.webz.cz/forum/moivre/ je o tom pěkné povídání, avšak nechápu jeho postup u toho prvního příkladu.

Bud tam preskočil nejako moc kroků, nebo nevim jak se zbavil té závorky.

Pavel Brožek · 30. 09. 2008 18:46

Vzhledem k periodicitě sinu a kosinu platí:

$\sin14\pi=\sin0=0\nl \cos14\pi=\cos0=1$

semik · 30. 09. 2008 18:54

↑ BrozekP:
Takze v mém případě by to bylo $(\sqrt{2})^6 (cos21\pi+i *sin21\pi)$ ?? Ale jelikož vím, že to musi vyjit -8i tak se ta zavorka nemůže přeci taky jen tak změnit na 1.

Pavel Brožek · 30. 09. 2008 19:07

$(1+i)^6=(\sqrt2)^6\cdot(\cos\frac{\pi}4+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}4)^6=8\cdot(\cos\frac{3\pi}2+\mathrm{i}\sin\frac{3\pi}2) =8\cdot(0+\mathrm{i}\cdot(-1)) =-8\mathrm{i}$

Matematické Fórum

#1 29. 09. 2008 23:27

Binomická věta

#2 29. 09. 2008 23:46

Re: Binomická věta

#3 29. 09. 2008 23:56

Re: Binomická věta

#4 29. 09. 2008 23:56

Re: Binomická věta

#5 30. 09. 2008 00:02

Re: Binomická věta

#6 30. 09. 2008 00:03 — Editoval jelena (30. 09. 2008 00:04)

Re: Binomická věta

#7 30. 09. 2008 06:55

Re: Binomická věta

#8 30. 09. 2008 17:01

Re: Binomická věta

#9 30. 09. 2008 18:25

Re: Binomická věta

#10 30. 09. 2008 18:35 — Editoval semik (30. 09. 2008 18:50)

Re: Binomická věta

#11 30. 09. 2008 18:46

Re: Binomická věta

#12 30. 09. 2008 18:54

Re: Binomická věta

#13 30. 09. 2008 19:07

Re: Binomická věta

Zápatí