Matematické Fórum

Srncek · 08. 02. 2012 19:59

zdravim,

mam zjistit tvar a vlastnosti kuzelosecky jako poloha, rovnici a uhol otoceni..

$x^2 -2xy + y^2 - \sqrt{2}x-2y+2=0$

jako prvni sem si urcil matici 1 -1
-1 1
a vypocetl z ni determinant kterej je roven nule.. takze je to parabola..

dal sem si vypocetl vlastni cisla 0 a 2

a urcil jejich vektory prvni mi vysel (t,t) pri t=1 (1,1)
a druhej (-t,t) pri t=1 (-1,1)

pak sem tydle vlastni vektory prevedl na jednotkove a udelal z nich matici zobrazeni

$1/\sqrt{2}$ $-1/\sqrt{2}$
$1/\sqrt{2}$ $1/\sqrt{2}$

tak tedy pokud je todle dobre.. dal uz nevim jak vypocitat ty souradnice polohy ani uhel otoceni.. helfnete mi prosim nekdo jak nato.. co nejvic polopate.. protoze s touhle casti matiky nejsem moc kamarad...

vanok · 08. 02. 2012 21:36

Ahoj ↑ Srncek:,
Si ukazal ze vlastne vektory su kolme a lahko sa vidi, ze ak povodny reper je $(O; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ a novy $(O; \overrightarrow{i'},\overrightarrow{j}')$
kde
$\overrightarrow{i'}=1/\sqrt{2}\overrightarrow{i}+1/\sqrt{2}\overrightarrow{j}$
a
$\overrightarrow{j'}=-1/\sqrt{2}\overrightarrow{i}+1/\sqrt{2}\overrightarrow{j}$
Otazka: Aky to ma suvis z tym co si uz vypocital.
Ako sa urci uhol vektorov $\overrightarrow{i}$ a $\overrightarrow{i'}$
Ako sa zmlenia suradnice tvojej rovnice?

Co sa stane v tomto otoceny z clenom $xy$

Urob uz toto co som tu naznacil...
potom ti napisem, ak to nevies ako dokoncit tvoje cvicenie.

A nemas nic taketo vo skriptach? daj ich online, nech ti napisem co ti treba prestudovat, na podobne priklady.

Srncek · 08. 02. 2012 21:59

tak dal se to pocitalo pres rovnici matic.. ale ty prave nechapu.. postup prikladu mam napsanej.. akorat ho chci pochopit a potad pokad sem to napsal to jeste chapu.. dal pak nevim jak urcituhol vektoru a ani nevim jak ty hodnoty vlastnich vektoru dosadit do me rovnice.. nejak co nejdebiluvzdornejsi bych to potreboval vysvetlit..

skripta nemam.. byli jenom prednasky bez prezentaci.. to jsou prave zadani ze skouskovych pisemek.. a v nich to je.. mam tenhle priklad vypocitan jen to chci pochopit a umet pocitat..

Srncek · 08. 02. 2012 23:21

no a suvis to ma.. ze su tam dosadene tie moje vypocitane vlastne vektory.. akurat neviem ako to teraz pouzit.. resp potrebujem polopaticky vysvetlit preco to tak mam pouzit..

Srncek · 09. 02. 2012 09:29

potreboval bych najit vic prikladu jako je tendle.. taky na vypocet elips a hyperbol..

Rumburak · 09. 02. 2012 10:03

Ahoj. Když body [x, y] roviny pojmeme jako komplexní čísla x + y i , pak otočení F okolio pčátku o úhel t je popsáno rovnicí

F( x + y i) = (x + y i) (cos t + i sin t) .

Atd.

Srncek · 09. 02. 2012 10:08 — Editoval Srncek (09. 02. 2012 10:11)

http://img715.imageshack.us/img715/2108/priklad114.jpg
http://img854.imageshack.us/img854/579/priklad124.jpg
http://img14.imageshack.us/img14/5177/priklad134.jpg
http://img29.imageshack.us/img29/5401/priklad144.jpg

tady mam obrazky z vypoctu(ne mujho).. takhle nejak bychom to meli pocitat.. ale nechapu jak udelal to dosazeni nakonci 3ho obrazku a jak mu to potom vyslo na zacatku 4ho obrazku

vanok · 09. 02. 2012 10:13 — Editoval vanok (09. 02. 2012 10:22)

↑ Srncek:
Vidim ze nenapredujes!
Inac co si napisal na zaciatku je skoro spravne:ta krivka je parabola, lebo jej diskriminant je 0.
presne treba povedaj je to parabola, alebo priamka, alebo zjednotenie dvoch paralelnych priamok , alebo prazdna mnozina ( tie ine pripady su "degenerovane" paraboly...a ak si toho neni vedomy, nejake vysledky by sa ti mohli zdat nelogicke)

A tvoje poznamky z prednasok ti skutocne nepomohli?

Toto je co som cakal vcera od teba:

Ten uhol si nasiel ?
Na to treba pouzit skalarny sucin….
Dostanes ze ide o uhol $\pi/4$

Akoze $\sin \theta = \cos \theta=\frac {\sqrt 2}2$
Ak nove suradnice oznacis X ;Y mas
$x=(\cos \theta).X +(\sin \theta ).Y\\ y=(\sin \theta) .X -(\cos \theta).X$
Nahrad to v danej rovnici.
Co ti to da ?

Srncek · 09. 02. 2012 10:26 — Editoval Srncek (09. 02. 2012 10:30)

skalarny sucin coho? potrebujem to vysvetlit konkretne.. inak to nepochopim.. skalarnym sucinom coho vyslo pi/4 ?

po dosadeni do tych rovnic by to malo byt
$x= \sqrt{2}/2.X + \sqrt{2}/2.Y$
$y= \sqrt{2}/2.X - \sqrt{2}/2.Y$

tak?

a to mam teraz dosadit teraz v do tej povodnej rovnice? ci tej v kvadratickej forme?

vanok · 09. 02. 2012 10:36 — Editoval vanok (09. 02. 2012 10:41)

↑ Srncek:
ano, ale ide o tvoju kvadraticku rovnicu
tam to dosad

Poznamka: to otocenie ma za ucel aby clen "xy" zmizol po tom otoceni

Srncek · 09. 02. 2012 10:41 — Editoval Srncek (09. 02. 2012 10:46)

takze takto?
$(\sqrt{2}/2.X+ \sqrt{2}/2.Y)^2-2(\sqrt{2}/2.X+ \sqrt{2}/2.Y)$
krat
$(\sqrt{2}/2.X- \sqrt{2}/2.Y)+(\sqrt{2}/2.X- \sqrt{2}/2.Y)^2$
aby clen xy zmizol? ... takze ten nemam vobec pisat ani dosadzovat?

vanok · 09. 02. 2012 10:43 — Editoval vanok (09. 02. 2012 10:48)

↑ Srncek:
ale dokonci tie vypocty ( tvoj zapis rozdel na dva riadky, inac sa neda vidiet)
potom ako zazrakom uvidis ze nebudes mat clen typu xy
To ale neznamena ze to nemas pocitat... ale to som ti povedal aj na kontrolu, a potom vieme ze ked sa davame do osy tvojej " koniky" a tak potom ta nema take cleny.

Srncek · 09. 02. 2012 10:54 — Editoval Srncek (09. 02. 2012 10:57)

hmm no vyslo mi to $2.Y^2$ tak neviem ci je to dobre..

vanok · 09. 02. 2012 11:05

↑ Srncek:,
ano ta cast je dobra( vsak vies z prednasky ze tam bude konst=vlastna hodnota)
ale preco si nezobral aj zvysok tej krivky co studujes?
dokonci to....
Vecer ti tu zhrniem metodu prace, ( cize nahradim prednasku)
dobru chut

Srncek · 09. 02. 2012 11:06 — Editoval Srncek (09. 02. 2012 11:06)

takze to dosadit do celej tej povodnej rovnice hej? .. nielen jej kvadraticku formu?

Srncek · 09. 02. 2012 11:11 — Editoval Srncek (09. 02. 2012 11:14)

tak cele to vyslo $2Y^2-X-\sqrt{2}X-Y+\sqrt{2}Y+2$ je to tak spravne?

dobru chut :)

Cheop · 09. 02. 2012 12:26

↑ Srncek:
Obrázek pro představu pomůže?

Srncek · 09. 02. 2012 12:38

njn vim jak vypada obrazek.. akorat potrebuju zjistit jak se k tomu dopocitat.. tedy jeste k vrcholu/ohnisku ... abych dokazal obrazek nacrtnout...

vanok · 09. 02. 2012 13:52 — Editoval vanok (09. 02. 2012 13:52)

↑ Srncek:,
chyba este jedna etapa:
Zmenit suradnice abu si dostal rovnicu tvojej paraboly vo forme
$\overline{Y}^2-2p\overline{X}=0$
vtedy v tychto poslednych suradniciach vrchol je v bode $(0;0)$
ohnisko $(\frac p2; 0)$ a smerova priamka paraboly (smernica) ma rovnicu $x=\frac p2$

Honzc · 09. 02. 2012 13:52 — Editoval Honzc (09. 02. 2012 14:01)

↑ Cheop:
Čau,
jenom tě chci upozornit, že ta čárkovaná přímka, kterou jsi "namaloval" není osou paraboly.
Osa paraboly má rovnici: $y=x+\frac{2-\sqrt{2}}{4}$
↑ Srncek:
Já osobně bych to počítal takto:
1. Zjištění, že se jedná o parabolu - to jsi už udělal (dobře)
2. Výpočet, že parabola je otočená o $\frac{\pi }{4}$
Platí: $\text{tg}2\varphi =\frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}$
To znamená: jsou-li koeficienty u členů s druhou mocninou stejné ( $a_{11}=a_{22}$ )
a koeficient u členu $xy$ není 0, je kuželosečka pootočena o $\frac{\pi }{4}$
3. Potom si stačí uvědomit, že osa paraboly má směrnici $k=\text{tg}\frac{\pi }{4}=1$
Pak tečna procházející vrcholem musí mít směrnici $k_{1}=-\frac{1}{k}=-1$
A tedy rovnice tečny bude $y=-x+c$
4. To dosadíme do rovnice paraboly a z podmínky $D=0$ spočítáme $c$ a také z původní
kavadratické rovnice $x_{v}$ .
5. $y_{v}$ pak spočítáme jednoduše z rovnice tečny.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Rumburak

↑ Srncek:

Zkusme tu metodiku shrnout.

Hledáme neznámou křivku q o rovnici g(X,Y) = 0 , jejímž otočením okolo počátku o prozatím neznámý úhel t vznikne křivka p o rovnici

(1) $x^2 -2xy + y^2 - \sqrt{2}x-2y+2=0$ .

Při tom chceme, aby ve výraze g(X,Y) už nefiguroval člen tvaru cXY , který klasifikaci křivky ztěžuje.

Uvažované utočení F bude mít v jazyce komplexních čísel tvar

x + z i = F( X + Y i) = (X + Y i) (cos t + i sin t) .

Odtud vypočteme x = A(X,Y,t), y = B(X,Y,t) a dosadíme do (1) :

(2) $A(X,Y,t)^2 -2A(X,Y,t) B(X,Y,t) + B(X,Y,t)^2 - \sqrt{2}A(X,Y,t)-2 B(X,Y,t)+2=0$ .

Tuto rovnici upravíme - bude obsahovat též člen h(t)XY . Úhel otočení t volíme tak, aby h(t) = 0 , dalšími úpravami rovnice (2) získáme
rovnici g(X,Y) = 0 v takovém tvaru (bez členu cXY), abychom ji mohli snadno analysovt ke klasifikaci křivky q.

vanok · 09. 02. 2012 14:50 — Editoval vanok (09. 02. 2012 15:10)

Akoze, kolegovia ti dali vela teorie, nebudem ti este pridavat dalsiu:
(nechal som ta riesit priklad pomalicky, a sameho aby si si mohol uvedomit, kde su tazkosti takychto cviceni)
Tak ti tu dam este jeden modelovy priklad( redigoval som to tak, ako by som to chcel dostat od nejakeho studenta, pochopitelne zo vsetkymy vypoctamy):
Vysetrite krivku $\Gamma$ :
$16x^2 -24xy + 9y^2 + 25x -50y = 0$ danu v ortonormalnom repere $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$
RIESENIE:
Matica:

$\begin{pmatrix} 16&-12\\ -12&9\\ \end{pmatrix}$

ma vlastne hodnoty 0 a 25.

Vektory $\overrightarrow{u}=\frac 35\overrightarrow{i}+\frac 45\overrightarrow{j}$ a $\overrightarrow{v}=-\frac 45\overrightarrow{i}+\frac 35\overrightarrow{j}$ su vlastne vektory asociovane k tymto vlastnym hodnotam.

V repere $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ rovnica krivky $\Gamma$ je
$25Y^2 -50Y-25X=0$
co sa este pise
$(Y-1)^2=X+1$
$\Gamma$ je parabola vrcholu $S(-1;1)$ ,z fokalnou osou $(S;\overrightarrow{u})$ a jej parameter je $p=\frac 12$
Cize ohnisko je $F=S+\frac 12\overrightarrow{u}$ a jej smernica prechadza cez bod $K=S-\frac 12\overrightarrow{u}$ a ma direkciu $\overrightarrow{v}$
(poznamka:poslednu vetu som napisal v afinom jazyku, aby si mohol lahko, ak si to zelaz urobit estu tu poslednu translaciu reperu $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ do bodu $S$ )
A nacrt si uz urobis sam.