Matematické Fórum

Muzes postupovat alepson dvemi cestami. Protoze v tomto foru neni editor rovnic, pokusim se to nejak rozumne jednoduse zapsat. Odmocninu (druhou) z cisla x budu znacit standardne SQRT(x), n-tou mocninu cisla x pak znakem x^n. Uvedu pouze jednu cestu, jak dospet k reseni tve prvni ulohy.

Chapej tvou rovnici jako kvadratickou rovnici s promennou a, pricemz promenna b tve kvadraticke formy necht je parametr. Tedy lze napsat

a^2+7ab+6b^2+5a+4b+3=0      <=>     a^2+(7b+5)a+(6b^2+4b+3)=0.

Tuto rovnici (resis ji vzhledem k nezname a) vyresis (vypocti diskriminant D a dosad do znameho vzorecku). Dostavas dva koreny:

a1:=-7/2*b-3/2+1/2*SQRT(25b^2-26b-3)       a         a2:=-7/2*b-3/2-1/2*SQRT(25b^2-26b-3).

Protoze ma platit a€Z a b€Z (Z je oznaceni mnoziny celych cisel), potrebujes minimalne odstranit odmocninu ve vyrazu pro koreny a1 a a2 vyse. V opacnem pripade by byla cisla a1 a a2 iracionalni, coz nesplnuje podminky zadani, za mame uvedenou rovnici resit v Z. Tedy necht odmocnovany vyraz 25*b^2-26*b-3 = n^2, kde n€N (N je mnozina prirozenych cisel). Tuto rovnici dale resime, pricemz n je parametr a neznamou necht je nyni b. Je to opet kvadraticka rovnice, takze vypocitej si diskriminant D a najdi koreny b1 a b2 teto rovnice. Najdes

b1:=13/25+1/25*SQRT(244+25*n^2)           a           b2:=13/25-1/25*SQRT(244+25*n^2).

Protoze cislo b ma byt take cele (b€Z), potrebujes v posledne uvedenych vztazich pro b1 a b2 odstranit prinejmensim odmocniny (v opacnem pripade opet obdrzis iracionalni cisla, analogicky jako vyse). Proto pozadujeme, aby platilo

244 +25*n^2=x^2,

kde x je prirozene cislo. Posledni rovnici (podminku) upravis na vyhodny tvar

244=x^2-25*n^2,

pricemz pravou stranu rozlozime, tedy celkem jiz mame

244=(x-5*n)*(x+5*n).

Protoze cisla x i n jsou prirozena, musi byt cisla (x-5*n) a (x+5*n) cela (bud obe zaporna, nebo obe kladna, protoze jejich soucin se ma rovnat kladnemu cislu 244). Navic cislo 244  rozlozis na soucin prvocisel takto:

244=1*2*2*61.

Celkem jiz tedy

1*2*2*61=(x-5*n)*(x+5*n).

Nasleduje relativne snadna diskuze:

(A)

x-5*n=1  a  x+5*n=2*2*61   =>   n=243/10, n=245/2 (nevyhovuje, nebot n i x nejsou prirozena podle naseho predpokladu).



(B)

x-5*n=2   a   x+5*n=2*61    =>   n=12 a x=62 (vyhovuje, nebot n i x jsou prirozena, jak pozadujeme).



(C)

x-5*n=2*2   a   x+5*n=61    =>   n=57/10 a x=65/2 (nevyhovuje, nebot n i x nejsou prirozena, jak pozadujeme).



(D)

Jine moznosti nemusime zkoumat, nebot jiste plati x-5*n<x+5*n! Take neni treba zkoumat pripady, kdy cisla x-5*n a x+5*n jsou obe zaporna cela. To zde provadet nemusim. Over si to sam.
____________________________________________________________________________________________

Zpetne nyni dopocteme neznamou b (vlastne vypocteme b1 a b2):

b1=3   a   b2=-49/25.

Oznacim pro jednoduchost b1=b=3. Cislo b2 jiste nevyhovuje zadani. Dale spocteme jeste a (opet vlastne a1 a a2):

a1=-3   a   a2=-23.

Obe dve cisla, a1 i a2, vyhovuji podminakm zadani a tudiz mame vysledek:

Existuji pouze dve dvojice celych cisel (a,b) takove, ze je splnena rovnice ze zadani:


(a1,b)=(-3,3)   a   (a2,b)=(-23,3).


Snad jsi to pochopil.

Ahojte,                                                                                                                                                                                                      potřebovala bych pomoci s matematikou a nevím kam se obrátit.                                                                                                                                    Jsem ze školy už delší dobu , ale dala jsem se na studium , abych si dodělala maturitu . Ráda bych se nějak doučovala , ale nevím z jaké knížky a nebo na koho se obrátit ? Týká se to počínaje zlomky , mocniny , rovnice . Díky za odpovědi . Iva

Pro Jelenu :
Díky moc za odpověď  snad mi to pomůže . Přeji také hodně zdaru . Ivana

Ad puvodni uloha 2: zkusme udelat co nejvetsi mnozinu slozenych po dvou nesoudelnych trojmistnych cisel. Pro kazdy z nich uvazme nejmensi prvocislo, ktery ho deli. Pro zadny 2 cisla toto prvocislo nemuze byt stejny (nesoudelnost) a musi byt nejvys 31 (soucin 31 s vyssimi prvocisel musi byt alespon ctzrmistny). V uvahu pripadaji jen prvocisla 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, kterych je 11. Takova mnozina muze mit nejvic 11 prvku. Zkusme nejakou takovou najit
31*31
2í*29
...
11*11
7*53
5*89
3*97
2*61
Jedenactiprvkovou mnozinu po dvou nesoudelnych slozenych trojmistnych cisel sestrojit umime, dvanactiprvkovou ne, proto k=12.

zapisi vsechno pres a3 a q: a2=a3/q, a4=a3*q a dosadim do puvodni rovnice
a2 + a4 = -10
a3/q + a3*q = -10,
ted uz jen za q = -1 a máme to - rovnice s jednou neznamou a3.
-a3 - a3 = -10,
-2*a3=-10
Hodne zdaru