Matematické Fórum

Polopat · 08. 02. 2012 23:12

Zdravím,
rád bych vás poprosil o pomoc. Zajímá mě následující:

Mějme pevnou kladku s lanem, na jednom konci lana závaží o hmotnosti m, na druhém níže pytel s pískem o stejné hmotnosti m (rozdíl výšky pytle a závaží označme h). Po bodnutí nožem do pytle se z něj začne sypat písek s konstantním "výtokem" (jednotka kg/s) a závaží začne klesat (zvedajíc pytel).

Za jakou dobu od bodnutí se budou pytel i závaží nacházet ve stejné výšce?

(Nemám to z žádné sbírky, napadlo mě to při sledování seriálu Sherlock.)

Dokázal jsem si vyjádřit výslednici i zrychlení, ale obojí bylo proměnlivé v závislosti na čase, a z toho jsem nebyl schopen dostat se k rovnici pro dráhu. Když jsem to zkusil přes přeměnu energií (a dost možná že i špatně) stejně jsem tam měl pořád moc neznámých. Tuším, že cesta asi leží v integrálním počtu, ale s tím jsem se začal seznamovat sotva před týdnem, takže...

Předem dík za každou pomoc.

zdenek1 · 09. 02. 2012 20:54

↑ Polopat:

Pokud zanedbáme vliv kladky a tření.
N.Z. pro těleso
$m_0g-T(t)=m_0\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}$ (1)
pro pytel
$T(t)-m(t)g=\frac{\mathrm{d} (m(t)\cdot v)}{\mathrm{d} t}$ (2)
kde $m(t)=m_0-kt$ - $k$ je ten "výtok"

(1) + (2)
$m_0g-m(t)g=m_0\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d} (m(t)\cdot v)}{\mathrm{d} t}$
$m_0g-m_0g+ktg=m_0\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d} m(t)}{\mathrm{d} t}v+m(t)\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}$ (derivace součinu)
$ktg=m_0\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}-kv+m_0\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}-kt\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}$
nyní si zavedu parametr $\mu=\frac k{m_0}$ a celou rovnici vydělím $m_0$ . Dostávám
$\mu(v+gt)=(2-\mu t)\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}$
Pokud tě zajímá matematická stránka řešení této difernciální rovnice, zkus to v sekci "Vysoká škola". Já to nechal spočítat stroj

$v=\frac{K}{2-\mu t}+\frac{\mu gt^2}{4-2\mu t}$ , kde $K$ je integrační konstanta. Z počátečních podmínek $v(0)=0$ plyne $K=0$ a
$v=\frac{\mu gt^2}{4-2\mu t}$
Nyní můžeš zjistit zrychlení
$a(t)=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}=\frac{\mu gt(4-\mu t)}{2(2-\mu t)^2}$
Můžeš taky zjistit např. rychlost v okamžiku, kdy se pytel vyprázdní $t^\prime=\frac{1}{\mu }$ , $v(t^\prime)=\frac{g}{2\mu }$
a závislost dráhy na čase
$s=\int v\,\text{d}t=\int \frac{\mu gt^2}{4-2\mu t}\,\text{d}t$
Zase jsem to nechal spočítat stroj
$s=\frac{g}{4\mu ^2}\left[\mu t(\mu t+4)+8\ln \left|\frac{2-\mu t}{2}\right|\right]$ (dráha pytle s už započtenou počáteční podmínkou $s(0)=0$ )
Když nyní chceš vědět, kdy se zápaží a pytel potkají, musíš z rovnice
$\frac{g}{4\mu ^2}\left[\mu t(\mu t+4)+8\ln \left|\frac{2-\mu t}{2}\right|\right]=\frac h2$
vypočítat $t$ . Analyticky to nejde. Smůla.

Samozřejmě všechy vztahy platí pouze než se vysype písek.