Matematické Fórum

veva · 12. 02. 2012 07:45

Prosím, môžete mi poradiť ?
V pravidelnom šesťuholníku ABCDEF sú body K,L,M stredmi strán AF, BC, DE. Aký je pomer obsahov trojuholníka a šesťuholníka ?
Obsah šesťuholníka je $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}$ , ale s trojuholníkom si neviem rady....

zdenek1 · 12. 02. 2012 08:48

↑ veva:

V trojúhelníku $\triangle SLC$ je z Pyth. věty $SL=\sqrt{a^2-\frac{a^2}4}=\frac{\sqrt3a}2$
$SL=\frac23h$ - $h$ je výška $\triangle KLM$ - protože $S$ je těžiště.
$\frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{2}{3}h\ \Rightarrow\ h=\frac{3\sqrt{3}a}{4}$
dále je
$\frac hx=\sin60^o=\frac{\sqrt3}2$
$\frac{\frac{3\sqrt{3}a}{4}}{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \Rightarrow x=\frac{3}{2}a$

Zbytek bys měla zvládnout