Matematické Fórum

found · 13. 02. 2012 11:56

Zdravím,

měl jsem teď u zkoušky příklad, který jsem trochu zkazil, protože mi nedošlo, jak derivovat. Mějme funkci

$f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$

Máme dokázat, že tato funkce se pro žádné x > 0 nerovná číslu e či 0 (nepamatuji si, co z toho to bylo, ale jestli se nepletu, tak bych svým způsobem měl dokázat oboje).

Dospěl jsem k tomu, že jsem si udělal limity v nule a v plus nekonečnu a pak jsem chtěl dokázat, že funkce je ryze monotónní,

Tedy

$\lim_{x\to0^+} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = 1$

$\lim_{x\to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$

Následně jsem chtěl funkci pro $\mathbb{R}^+$ zderivovat, ale došel jsem k tomu, že nevím, jak takovou funkci zderivovat, což je asi ostuda.

Jimmy

Alkac · 13. 02. 2012 12:02

Kdyz chces takovouhle fci zderivovat, tak si ji prved na exp(x*ln(1+1/x))

found · 13. 02. 2012 12:41

↑ Alkac:

Takže dostanu tohle?
$\mathrm{e}^{x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}\cdot \frac{d}{dx}\left(x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right)$

Moc ale nevím, co z toho dostanu... A taky bych se rád zbavil logaritmu a $\mathrm{e}$ , ale netuším v tuhle chvíli, jak bych to provedl. Ta derivace vychází pěkně hnusně, jak z toho určím, že funkce je na celém Df rostoucí?

Alkac · 13. 02. 2012 13:04

Ted uz se s tim musis proste poprat, nikdo nesliboval ze ta derivace vyjde hezky:)

Ty chces aby tohle bylo vetsi nez nula pro x vetsi nez nula. Ten prvni clen e^(...) je vetsi nez nula, takze tim tu nerovnost muzes vydelit. Pak zbude ln(1+x) - 1/(x+1)>0 jestli to dobre vidim a potom bych pouzival neco takovyho http://functions.wolfram.com/Elementary … g/29/0001/
Je to jenom napad, nepocital jsem to

vanok · 13. 02. 2012 13:08 — Editoval vanok (13. 02. 2012 14:10)

Ahoj ↑ found:,
Podla mna treba staci vysetrit zakladne vlasnosti tvojej funkcie.
Najrv vysetri obor definicie, a najdi limity v hranicnych bodoch.
Najdes medzi inym, ze limita v $\pm \infty$ je $e$ .

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

A limity na lavo a na pravo bodu $-1$ ( ak existuju) ti daju dalsie dolezite (pre teba ) informacie

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

.... a
vdaka vypoctu 1vej derivacie a studiu jej znamienka, dostanes informacie o monotonii tvojej funkcii...A zvysok je ozaj jednoduchy.

Poznamka 1: na tvoju otazku o $e$ stacia neskryte informacie...i ked tie ine ti pomozu lepsie vizualizovat o co ide.
Poznamka 2: je utopocke dufat, ze nejaka funkcia co ma vertikalnu asymptotu bude "striktne" monotona, to moze byt len na konexnych intervaloch.

Honzc · 13. 02. 2012 13:18 — Editoval Honzc (13. 02. 2012 13:34)

↑ found:
Už jsem to tady několikrát propagoval:
"logaritmická" derivace.
Tedy:
Funkce typu $y=g(x)^{h(x)}$ jednoduše "zlogaritmujeme" a máme: $\ln y=h(x)\cdot \ln( g(x))$
Teď obě strany derivujeme
levou takto: (jako složenou funkci) $(\ln y)'=\frac{1}{y}\cdot y'$
pravou jako souučin: $(h(x)\cdot \ln( g(x)))'=h'(x)\cdot ln( g(x))+h(x)\cdot \frac{g'(x)}{g(x)}$
a tedy $y'=y\cdot (h'(x)\cdot ln( g(x))+h(x)\cdot \frac{g'(x)}{g(x)})=g(x)^{h(x)}\cdot (h'(x)\cdot ln( g(x))+h(x)\cdot \frac{g'(x)}{g(x)})$

Takže logaritmu se nezbavíš, ale e ano.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Alkac · 13. 02. 2012 13:50

Logaritmicka derivace je dobra rada, poprve jsem to videl v jedne knize o analyze (ale na nazev si nemuzu vzpomenout) a nektere priklady se tim daji vyresit opravdu efektne. Tady to jeste neni tak videt, ale obcas je to opravdu k nezaplaceni

Matematické Fórum

#1 13. 02. 2012 11:56

Derivace "e"

#2 13. 02. 2012 12:02

Re: Derivace "e"

#3 13. 02. 2012 12:41

Re: Derivace "e"

#4 13. 02. 2012 13:04

Re: Derivace "e"

#5 13. 02. 2012 13:08 — Editoval vanok (13. 02. 2012 14:10)

Re: Derivace "e"

#6 13. 02. 2012 13:18 — Editoval Honzc (13. 02. 2012 13:34)

Re: Derivace "e"

#7 13. 02. 2012 13:50

Re: Derivace "e"

Zápatí