Matematické Fórum

SNP3R · 15. 02. 2012 14:13

čau,
pomůžete mi pls tady s tímto důkazem?

Dokažte, že pro každé $n\in N$ platí $\sum_{k=1}^{n}k*(-2)^{k}=\frac{2(3n+1)}{9}*(-2)^{n}-\frac{2}{9}$

Udělám si matematickou indukci a dokážu to pro n=1, ale pak nevím, jak dál....
Dík

Mihulik

Ahoj,
máš-li to pro n = 1 přejdeme k indukčnímu kroku.
Nechť rovnost platí pro $n=n_{0}$ a chceme ukázat pro $n=n_{0}+1$ .
Máme:
$\sum_{k=1}^{n_{0}+1}k\cdot (-2)^{k}=(n_{0}+1)\cdot (-2)^{n_{0}+1}+\sum_{k=1}^{n_{0}}k\cdot (-2)^{k}=^{ind.\:pred.}(n_{0}+1)\cdot (-2)^{n_{0}+1}+\frac{2(3n_{0}+1)}{9}\cdot (-2)^{n_{0}}-\frac{2}{9}$

A teď už jen pomocí elementárních úprav výrazů doupravujeme do požadovaného tvaru, aby byla platnost rovnosti zřejmá.

Alkac · 15. 02. 2012 14:36

Pak predpokladas platnost pro n a dokazes platnost pro n+1, tzn beres to tak jakoze ten vzorecek plati a pomoci toho ho dokazes pro hodnotu n+1. Nalevo vlastne budes mit navic jen jeden clen v ty sume a napravo to musis trochu upravit

SNP3R · 15. 02. 2012 15:45

Tak díky, mzslím, že už jsem to zvládl. Vím, jak se dělá matematická indukce, ale tady jsem nějak nevěděl, jak to dosadit. Díky

Matematické Fórum

#1 15. 02. 2012 14:13

matematická indukce

#2 15. 02. 2012 14:34 — Editoval Mihulik (15. 02. 2012 15:15)

Re: matematická indukce

#3 15. 02. 2012 14:36

Re: matematická indukce

#4 15. 02. 2012 15:45

Re: matematická indukce

Zápatí