Matematické Fórum

↑ United121:

To bude záležet na tom, kolik je v poli celkově min. Pokud dvě, tak se vyplatí kliknout někam mimo. Pokud 68, tak se vyplatí kliknout někam okolo jedniček.

(Všimnul sis, že existují neodkrytá pole, kde je 100% šance, že tam není mina? ;-) )

↑ United121:

Myslíš, že může být mina na vyznačeném políčku?

↑ Honzc:

3) Tam určitě nebude pravděpodobnost 1/2. Větší pravděpodobnost pro nešlápnutí na minu bude v okolí té pravé horní jedničky. Ale vyčíslit tu pravděpodobnost konrétně mi přijde na první pohled složité.

4) Ne, pokud na odkrytém poli bude třeba číslo 4 :-).

Edit:

3) Vyšlo mi, že pravděpodobnost, že v této situaci je na pozici A mina, je , že je na pozici B a že je na pozici C . (Trochu mě překvapila tak nízká pravděpodobnost pro minu na C, ale je to vlastně logické – je málo pravděpodobné, že při tak nízkém celkovém počtu min budou tři miny v tak malé oblasti – v těch pěti vybraných polích.)

Ahoj,
také jsem si kdysi s touto hrou vyhrál. :-) Zpravidla ke konci hry na obtížnější úroveň se človek tipování neubrání. Vznikají zajímavé možnosti - např. hledat neodkryté pole s minimální pravděpodobností, že je na něm mina - ovšem to samo nemusí být dostatečné, protože jeho odkrytím - byť na něm mina nebude - nezískáme pro další postup mnoho nového a někdy se vyplatí odkrýt spíše "riskantnější" pole s tím, že pokud na něm mina není, otevře se nám cesta k odkrývání dalších polí - již na základě pouhé logické úvahy.
Jinak je zajímavé, že první odkryté pole nikdy minu neobsahuje (aspoň v té klasické hře ve Windows).

↑ Honzc:

Tomu nerozumím – nejdřív napíšeš, že ty pravděpodobnosti budou skutečně jinak a pak zase tvrdíš, že to bude 2/3 a 1/3? Podle mě jsou pravděpodobnosti tak, jak jsem je uvedl v bodu 3 ↑ zde:.

Ty tři případy, které uvádíš, nejsou stejně pravděpodobné.

↑ Honzc:

Souhlasím, že rozmístění min musí být jedno z těch, co jsi uvedl. Ale nesouhlasím, že každé z těch tří rozmístění má stejnou pravděpodobnost 1/3.

Představ si, že by celkový počet min byl 68. Pak je jistota, že miny jsou v A, C a E. Naopak, kdyby byl celkový počet min jen 2, Pak je jistota, že v E mina nebude a v bodech A, B, C, D bude v každém s pravděpodobností 1/2. V případě jiného celkového počtu min budou pravděpodobnosti někde mezi, rozhodně to ale nebude ve všech ostatních případech 2/3 pro A a E a 1/3 pro B, C a D.

↑ Honzc:

To chceš tvrdit, že pravděpodobnost výskytu miny na těch dvou zakřížkovaných polích (kde mina být nemůže), je jiná než nula?

To vůbec tvrdit nechci :-).

Je jedno, kde jsou ty ostatní miny, není ale jedno, jestli je rozdělení min na polích ABCDE–jinde 3–7 nebo 2–8.

Bohužel se asi nevyhnu tomu, abych podrobně rozepsal svůj výpočet, pak se můžeme bavit konkrétněji, co je na něm podle tebe špatně. Dostanu se k tomu ale až později, snad dnes večer.

↑ Honzc:

Bohužel na tom případu, který jsi popsal (pouze jedno pole mimo) ti to nemůžu ukázat, tam to zrovna vychází stejně jako tobě :-). Proto budu mít mimo dvě pole.

Předpokládejme, že hrací pole vypadá jako na obrázku,



přitom v poli jsou někde tři miny a každé rozmístění min je stejně pravděpodobné.

Označme jev, že v A je mina, jako A, pravděpodobnost, že je v A mina, pak je a analogicky pro B a C. Jistě platí (počet příznivých rozmístění min pro jev dělený počtem všech rozmístění min)



To je celkem očekávaný výsledek, protože máme 3 miny na 18 pozic. To bylo jen tak na zahřátí – při psaní jsem myslel, že to použiju, nakonec ne :-). Ale je myslím užitečné si uvědomit, jak vypadá výchozí pozice a že stejně pravděpodobné jsou všechna rozmístění min na začátku hry. O nějakých dalších věcech nemůžeme tvrdit, že jsou stejně pravděpodobné, dokud to nedokážeme.

Otázka, na kterou se ptáme, je: Jaká je pravděpodobnost, že v A je mina, za předpokladu, že miny jsou rozmístěny v souladu s následujícím obrázkem:



Jev, že miny jsou rozmístěny v souladu s předchozím obrázkem, označme třeba S. Zajímá nás tak podmíněná pravděpodobnost . Tu spočteme jako

,

kde označuje jev, který nastává pokud nastávají zároveň jevy A a S. Obě pravděpodobnosti ve zlomku spočteme jako počet příznivých (stejně pravděpodobných dle počátečního předpokladu!) rozmístění min děleno počet všech rozmístění min. Všechny rozmístění min příznivé jevu S jsou na následujícím obrázku:



(Výskyt miny značím červeným x, omlouvám se, neuvědomil jsem si, že jsi tak značil naopak, že tam mina není. Nechce se mi to znova kreslit.)





(Ta trojka v čitateli na předchozím řádku odpovídá těm třem případům z předchozího obrázku, kde nastává jev A.)

Celkově tedy

.

↑ Honzc:

Zdravím,

to je v pořádku, jsem rád, že jsme se nakonec na řešení shodli. :-)