Matematické Fórum

lukaszh

Ahoj,
ako dokážem, že
$\forall n\in\mathbb{N}\,:\,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\,<\,2$
Nechcem riešenie, len potrebujem navies?.

Tomsus · 04. 10. 2008 20:21

Ja jsem si to vzdy predstavoval, jako ze plnim nejakou nadobu. Prvni clen 1 dam mimo a pak do nadoby naliju polovinu objemu, prileju ctvrtinu, osminu... a jak to bude vypadat s jejim naplnenim? nic matematickeho a snad jsem navedl :-)

Olin · 04. 10. 2008 20:36

Tomsus: to, co popisuješ, je ale sečítání řady
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}$ .

K tomu důkazu: samozřejmě se to dá dokázat tak, že určíme součet oné řady a hned vidíme, že je to menší než 2. Tady se ale asi chce nějaký fígl, ten mě bohužel v tuto chvíli nenapadá.

Saturday · 04. 10. 2008 21:24

↑ lukaszh: Přes Fourierovy řady (rozvinutím funkce f(x) = x^2 a jednoho "magického" dosazení) lze dojít k přesnému součtu tebou uvedené řady. Nevím do jakého chodíš ročníku, jinak je to látka 2. semestru na matfyzu.

Saturday · 04. 10. 2008 21:55

2lukaszh: Nápověda: využij srovnávacího kritéria s řadou: $\sum_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{n(n+1)}} = 1$

řešení je níže, pokud to chceš zkoušet, nečti dále!
=====================================================================================

Lze využít řady známé řady: $\sum_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{n(n+1)}} = 1$ , resp. pro naše účely: $\sum_{n=1}^{\infty} {\frac{2}{n(n+1)}} = 2$

Porovnáváme členy zadané řady a řady výše:

$\frac{1}{k^2} \lt \frac{2}{k(k+1)}$ pro k > 1

úpravami dojdeme k:

$k \lt k^2$ což platí. Tímto způsobem jsme jednak ukázali, že naše řada konverguje a navíc jsme ukázali, že má součet menší než 2.

Matematické Fórum

#1 04. 10. 2008 19:23 — Editoval lukaszh (04. 10. 2008 21:25)

Dokaz

#2 04. 10. 2008 20:21

Re: Dokaz

#3 04. 10. 2008 20:36

Re: Dokaz

#4 04. 10. 2008 21:24

Re: Dokaz

#5 04. 10. 2008 21:55

Re: Dokaz

Zápatí