Matematické Fórum

Bondrek · 18. 02. 2012 15:16

Je dán čtverec ABCD (Úloha je bez obrázku) se stranou délky a a bod R který je středem jeho strany CD poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABR je:

A) 3 a
_
5

B) 5 a
_
8

C) 4 a
_
7

D) 5 a
-
9

E) 6 a
_
11

pomůže někdo? :)

Cheop · 18. 02. 2012 15:44

↑ Bondrek:
Ani jeden výsledek tebou uvedený není dobře.
Mě vychází:
$r=\frac{a\sqrt 5}{4}$

Bondrek · 18. 02. 2012 15:48

↑ Cheop:

Je to ze sbírka úloh pro společnou část maturity a výsledek má být za B ale nevím jak postupovat taky mi to nevychází :/

Cheop · 18. 02. 2012 16:02 — Editoval Cheop (18. 02. 2012 23:02)

↑ Bondrek:
Když si to nakreslíš tak zjistíš, že máš počítat
poloměr kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku.
Víme, že střed kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku leží uprostřed přepony
Ten troúhelník má odvěsny o délce a, a/2
přepona tedy je:
$c^2=a^2+\left(\frac a2\right)^2\\c=\frac{a\sqrt 5}{2}$
Polovina přepony = r tj.
$r=\frac{a\sqrt 5}{4}$
Tady obrázek pro a = 1

Tak tam tedy zadavatelé maturity mají chybku.
Uvedený výsledek se rovná $2r^2$
Toto je špatně - řešil jsem jinou úlohu než je v zadání

Hanis · 18. 02. 2012 17:10

Bondrek napsal(a):
....a bod R který je středem jeho strany CD....

Cheop · 18. 02. 2012 22:27 — Editoval Cheop (18. 02. 2012 23:01)

↑ Hanis:
Zdravím
To jsem, ale kus starého voa
Po kloudném přečtení zadání na upozornění od ↑ Hanis: souhlasím se zadavateli úlohy.
Správná odpověď je B

Bondrek · 19. 02. 2012 15:56

↑ Cheop:

nj ale postup? mi to stále nevychází :(

Bondrek · 19. 02. 2012 20:50

↑ Hanis:

takže obrázek je špatně?

jelena · 19. 02. 2012 22:49

↑ Bondrek:

Zdravím,

je třeba opravit umístění bodu R - je na úsečce CD, vznikne rovnoramenný trojúhelník ABR.

Cheop · 20. 02. 2012 07:11 — Editoval Cheop (20. 02. 2012 07:21)

↑ Bondrek:

Podle obrázku:
$a^2+\left(\frac a2\right)^2=x^2\\x^2=\frac{5a^2}{4}\\x=\frac a2\cdot\sqrt 5$
$\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)=\frac{\frac{a}{2}}{x}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac a2\cdot\sqrt 5}\\\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt 5}$
$\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)=\sqrt{1-\sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)}=\sqrt{1-\frac 15}\\\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)=\frac{2}{\sqrt5}$
$\sin\,\varphi=2\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)\\\sin\,\varphi=2\cdot\frac{1}{\sqrt5}\cdot\frac{2}{\sqrt5}\\\sin\,\varphi=\frac 45$

Víme, že poloměr kružnice opsané trojúhelníku je obecne: $r=\frac{a}{2\sin\,\alpha}$ pro náš případ:
$r=\frac{a}{2\sin\,\varphi}=\frac{a}{2\cdot\frac 45}\\r=\frac{5a}{8}$

Správná odpověď je B

Druhý způsob výpočtu může být např. pomocí analytické geometrie.

okip · 16. 04. 2013 18:30 — Editoval okip (16. 04. 2013 18:30)

↑ Cheop:↑ Cheop: Stačí dosadit do vzorce r=ab/(2v), v=výška na "c"(=a).

martisek · 16. 04. 2013 18:46

↑ Bondrek:

Mně připadá jednodušší ten analytický přístup:

A=[0;0]; B=[a;0]; C=[a/2; a]

$k\equiv \left( x- \frac a 2\right)^2 +\left( y-y_0\right) ^2 = r^2$

$A;B;C\in k$

zvlášť když v souřadnicích jsou ty tři nuly. Ale je to samozřejmě věc názoru.

Gabrielova

Ahoj , řeším stejný příklad :-) , jenomže podle toho zadání s těma sinusama a cosinusama mi to připadá docela složité . Zkoušela jsem to analyticky , jak tady radíte : A [0,0] B[a,0] R[a/2 , a ]
Ale když chci zjistit poloměr ( nebo popřípadě teda průměr) nevím jaký vektor ( nebo teda úsečka ) by to měla být , protože AR to být asi nemůže , protože to neprochází středem kružnice ( proto je podle mě špatně jak tady někteří píšete že to má být $\frac{a\cdot \sqrt{5}}{4}$ ( protože AR neprochází středem ) . Neívm jeslti to teda chápu dobře . A v tom zápisu nevím co znamená y0 .
Mohl by mi to prosím někdo vysvětlit ?

misaH · 27. 01. 2015 22:24

↑ Gabrielova:

Podľa kontextu $y_0$ je ypsilonová súradnica stredu kružnice.

Stred kružnice je rovnako ďaleko od všetkých vrcholov trojuholníka.

Matematické Fórum

#1 18. 02. 2012 15:16

Čtverec

#2 18. 02. 2012 15:44

Re: Čtverec

#3 18. 02. 2012 15:48

Re: Čtverec

#4 18. 02. 2012 16:02 — Editoval Cheop (18. 02. 2012 23:02)

Re: Čtverec

#5 18. 02. 2012 17:10

Re: Čtverec

Bondrek napsal(a):

#6 18. 02. 2012 22:27 — Editoval Cheop (18. 02. 2012 23:01)

Re: Čtverec

#7 19. 02. 2012 15:56

Re: Čtverec

#8 19. 02. 2012 20:50

Re: Čtverec

#9 19. 02. 2012 22:49

Re: Čtverec

#10 20. 02. 2012 07:11 — Editoval Cheop (20. 02. 2012 07:21)

Re: Čtverec

#11 16. 04. 2013 18:30 — Editoval okip (16. 04. 2013 18:30)

Re: Čtverec

#12 16. 04. 2013 18:46

Re: Čtverec

#13 27. 01. 2015 20:11 — Editoval Gabrielova (27. 01. 2015 20:31)

Re: Čtverec

#14 27. 01. 2015 22:24

Re: Čtverec

Zápatí