Matematické Fórum

Ospli · 18. 02. 2012 20:52

Ahoj,

snažím se proniknout do Malé fermatovi věty podle tohoto článku.

Věta zní následovně:
Nechť p je prvočíslo. Pak pro všechna přirozená čísla a platí $a^{p}\equiv a (mod p)$ .

Koukal jsem ještě na českou a anglickou wikipedii a nšjaké další PDf na internetu, a všude má v podstatě stejné znění. Jde mi o to zjistit, zda je opravdu nutné, aby p bylo prvočíslo.
Podle mě při důkazu tato podmínka není potřeba a věta platí pro libovolné a,p přirozené.

Dál si nevím rady s tímto tvrzením: Nechť n a p jsou lichá prvočísla, $p|2^{n-1}-1$ . Potom $n|p-1$ . Nevíte proč to tak je?

Stýv · 18. 02. 2012 23:17

k první otázce: stačí zvolit třeba a=2 a p=4, abys viděl, že je to nutné

FailED · 19. 02. 2012 13:59 — Editoval FailED (19. 02. 2012 14:36)

Ahoj,

ad 1: Tvrzení platí i pro některá složená p - Carmichaelova čísla. Ale o nich MFV nemluví.

na 2 bych zkusil jít takhle:
Nejdřív ukázat, že pro $p$ prvočíslo a $a\not\equiv1\pmod p$ s ním nesoudělné se $a^i \text{mod}\, p$ pro $i=1,\ldots ,p-1$ periodicky opakují, v periodě jsou různá čísla a její délka je $d$ , kde $d>1$ a $d|\,p-1$

Z toho $a^{m}\equiv 1 \pmod{p}\quad \Leftrightarrow \quad d|\, m$

A z toho odvodit tvrzení.

check_drummer · 19. 02. 2012 18:16

↑ Ospli:
Ahoj, nevím jaký důkaz jsi studoval, ale v tom, který využívá binomickou větu se využívá, že p dělí ${p \choose i}$ pro 0<i<p, což pro neprvočíselé p nemusí být pravda.

Ospli · 19. 02. 2012 20:10 — Editoval Ospli (19. 02. 2012 20:12)

Děkuju za odpovědi.

K druhému tvrzení: Zřejmě se jedná o překlep v článku, protože pro n=5, p=3 neplatí.

(Má to asi být $p|2^{n}-1 \Rightarrow n|p-1$ . To už lze snadno dokázat - n je totiž nejmenší exponent, pro který platí $2^{x}\equiv 1(modp)$ , a tedy $p-1 = kn$ .)

Matematické Fórum

#1 18. 02. 2012 20:52

Malá fermatova věta

#2 18. 02. 2012 23:17

Re: Malá fermatova věta

#3 19. 02. 2012 13:59 — Editoval FailED (19. 02. 2012 14:36)

Re: Malá fermatova věta

#4 19. 02. 2012 18:16

Re: Malá fermatova věta

#5 19. 02. 2012 20:10 — Editoval Ospli (19. 02. 2012 20:12)

Re: Malá fermatova věta

Zápatí