Matematické Fórum

katrintn · 19. 02. 2012 14:27

Prosím vás viete mi niekto poradiť s týmto príkladom?

Nech f je kvadratická funkcia $y=x^{2}-1$ . Určte:
$f(\langle -1,2)), f(E), f_{-1}(\langle-1,1\rangle), f_{-1}(\langle0,2\rangle)$

$f(\langle -1,2))=\langle-1,1\rangle$
ale s tými ďalšími si neviem rady.

Rumburak · 20. 02. 2012 10:04

1) Abychom mohli určit f(E), musíme nejprve vědět, co je to E.

2) Určit množinu $f_{-1}(M)$ znamená určit množinu $X$ sestavenou ze všech kořenů rovnic $f(x)= m$ , kde parametr $m$ probíhá množinu $M$ .

katrintn · 20. 02. 2012 12:30

1) E je mnozina realnych cisel
2) tefa k $f(x)=x^{2}-1$ je $f_{-1}(x)=\pm \sqrt(x-1)$ je ked tam dosadim interval $f_{-1}(\langle-1,1\rangle)$ tak mi vyde imaginarna jednotka $i\sqrt2$ takze by to bol interval $\langle0,i\sqrt2 \rangle$ a to sa mi nezda ze je to dobre

Rumburak

Dobře, E je tedy množina všech reálných čísel (což není značení běžné, někteří autoři značí symbolem E množinu komplexních čísel).

Ad 1) Vyšetřením průběhu funkce zjistíme, že funkce f v E

- je spojitá
- není shora omezená
- nabývá v jistém bodě svého absolutního minima.

Tudy vede cesta k odpovědi na první otázku.

Ad 2) Můj návrh v ↑ Rumburak: byl o něčem jiném: Je-li tedy konkretněji např. $M = (5,6)$ , potom množinu $X =f_{-1}(M)=f_{-1}((5,6))$
zjistíme tak, že pro každé $m \in M$ (tedy $m \in (5,6)$ ) sestavíme rovnici $f(x)= m$ (tedy rovnici $x^{2}-1 = m$ ) a hledáme její kořeny.
Všechny existující kořeny všech těchto rovnic dají množinu $X$ . Toto říká (i když možná poněkud jinými slovy) definice symbolu $f_{-1}(M)$ .
(Důležitou teoretickou otázkou zde je, zda máme hledat kořeny komplexní nebo pouze kořeny reálné. To závisí na tom, zda proměnnou x z definice funkce f
považujeme za komplexní proměnnou nebo za reálnou proměnnou. Předpokládejme, že jde o reálnou proměnnou.)
Samozřejmě že není nutné každou z těch nekonečně mnoha rovnic řešit zvlášť, je možno postupovat hromadně: Rovnici $x^{2}-1 = m$ přepíšeme do tvaru
$x^{2}= m +1$ , jejíž reálné kořeny zřejmě existují, právě když $m + 1 \ge 0$ , což je v případě $m \in (5,6)$ splněno vždy. Hodnoty těchto kořenů pak
budou $x_{1,2}= \pm \sqrt{m + 1}$ , kde kladné kořeny $\sqrt{m + 1}$ pro $m \in (5,6)$ vyplní interval $(\sqrt{6}, \sqrt{7})$ , ježto druhá odmocnina je funkce rostoucí
a spojitá.
Obdobně zjisjíme, že záporné kořeny vyplní intervat $(-\sqrt{7}, -\sqrt{6})$ . Množina $f_{-1}((5,6))$ bude sjednocením nalezených intervalů.