Matematické Fórum

Alkac · 13. 02. 2012 11:07

Jak presne je definovana nekonecna matice a co musi splnovat, aby reprezentovala linearni operator na prostoru posloupnosti?
Vim ze se matice da definovat jako dvojna posloupnost, mate nejakou jinou definici?

Aby zobrazeni Ax = y s matici A byl linearni operator, musime na matici klast nejake pozadavky. Staci treba konecne mnoho nenulovych prvku v kazdem radku, ale jsou i dalsi kriteria...

Posledni dobou jsem se o to zajimal, ale vsude je se bere automaticky, ze A = {a(n,m)} je nekonecna matice a Ax=y je lin operator, ale to podle me neni uplne korentni.

Prosim o jakykoliv odkaz ktery se timto zabyva, nebo alespon komentar jak to znate.definujete vy! Diky!

vanok · 13. 02. 2012 13:57 — Editoval vanok (13. 02. 2012 13:58)

↑ Alkac:,
Zacni rozmyslat o priestoroch nekonecnej dimenzie.
Tvoj problem, ma suvis z bazamy nekoncnych priestorov.( cize casti priestoru co su nezavisle a totalne=generuju priestor)
Sice, vdaka Zornovej l'axiome, vieme ze kazdy vektorovy priestor ma jednu bazu.
Ale to neznamena, ze ich vzdy vieme najst.
Napriklad,
pre priestor realnych polynomov ,jeho baza je $(X^n) _{n\in N}$
Pre priestor, formalnych radov, ziadnu bazu nepozname.
Priestor polynomov ma komplemanter v priestore formalnych radov, ale riadnu bazu nepozname.
Pozor, v nekonecnej dimenzii, pod priestor moze mat tu istu dimenziu ako cely priestor. A pokus sa najst ine rozdiely....

Synteza, ak v nejakom priestore pmas aj jeho bazu, mozes definovat nejaku "supermaticu" nejakeho operatora...inac nevidim ako by si to urobil.

Alkac · 13. 02. 2012 14:14

Me slo vylozene o prostor posloupnosti a pripadne jeho podprostory. Kdyz definuju "formalne" nekonecna matice krat nekonecny vektor (posloupnost) analogicky jako se nasobi konecna matice a vektor, jake musi byt podminky na tu matici aby to definovalo linearni operator. Znam konkretni priklady, ale hledam nejakou ucelenejsi teorii. Staci napriklad aby matice mela v kazde radce jen konecny pocet nenulovych prvku, pak jsou vsechny soucty konecne a neni problem s konvergenci. Pokud povolim i nekonecne mnoho nenulovych prvku, musim zacit resit konvergenci. Jsou ruzne vety (Toeplitz me k tomu privedl napriklad) ktere to resi - potreba omezenosti/konvergence ruznych posloupnosti/rad prvku z te matice atd.

Je nejaky text ktery by se tomuhle primo venoval. Pripadne mi staci i prostor l^nekonecno, ale radsi bych i obecne na prostoru vsech posloupnosti (tam znam jen podminku row-finite matrix)

Alkac · 13. 02. 2012 14:16

Neco jako toto http://www.renyi.hu/~p_erdos/1950-03.pdf

Rumburak

↑ Alkac:
Ucelenější teorii dává, jak se domnívám, Hilbertův prostor $l^2$ všech reálných (resp. komplexních) posloupností sčítatelných s kvadrátem
(analogie s $L_2(a, b)$ , s nímž je dokonce isomorfní, pokud se nepletu).
Princip je v tom, že každý H-prostor H je reflexivní, tj. každou spojitou lineární formu f na něm definovanou můžeme vyjádřit ve tvaru
skal. součinu f(x) = <h, x> , kde h je prvek z H odpovídající formě f.

Pojem báze prostoru zde ovšem musíme vnímat v Schauderově smyslu (takoou bází je např. úplný ortonormální systém).

Olin · 13. 02. 2012 15:55

Pokud by nějaká matice měla řádek s nekonečně mnoha nenulovými prvky, pak ho samozřejmě umíme vynásobit takovou posloupností, aby daná řada divergovala.

Pokud chceme, aby výsledný operátor byl z $\ell^\infty$ do $\ell^\infty$ , tak budeme potřebovat třetí podmínku z Toeplitzovy věty (dokáže se skrze Banach-Steinhausovu větu neboli princip stejnoměrné omezenosti).

Aby byl výsledný operátor z $\ell^\infty$ jen do prostoru posloupností, stačí nám, aby byly řádky matice absolutně konvergentní.

Alkac · 13. 02. 2012 16:17

↑ Rumburak: to je prave specialni pripad, kdy mam navic skalarni soucin. Ale na prostoru vsech posloupnosti to musi byt trochu jinak (striktnejsi podminky na tu matici, ale me napada jenom ta konecnost nenulovzch prvku v kazdem radku). Kazdopadne l^2 je pro me "moc maly" prostor

↑ Olin: Toeplitzovu vetu znam, ale me slo spis o opacny pripad - aby to prave bylo z prostoru vsech posloupnosti treba do l^nekonecno. Co kdyz budu chtit nejakou maticovou limitovaci metodu, ktera bude fungovat treba i na divergentni posloupnosti s lim +oo...

Funguje vubec na prostoru vsech posloupnosti neco jineho nez ty matice s konecnym poctem nenulovych prvku? Podle me asi ani nic jineho nepujde... a jakmile se omezim na podprostory tak to zacne fungovat i s opravdu nekonecnyma maticema, treba podle toho Toeplitze

Olin · 13. 02. 2012 16:28 — Editoval Olin (13. 02. 2012 16:41)

↑ Alkac:
Asi jsem se nevyjádřil dostatečně přesně, tak ještě jednou:

Na prostoru všech posloupností budou operátory reprezentovány právě row-finite maticemi, protože kdybych měl v nějakém řádku nekonečně mnoho nenulových prvků, pak mohu tento řádek vynásobit vhodnou posloupností tak, abych sčítal (třeba) samé jedničky, což mi rozhodně nebude konvergovat.

Pokud výchozí prostor omezíme na $\ell^\infty$ , ale cílový ponecháme (všechny posloupnosti), tak budou operátory reprezentovány právě maticemi, které jejichž řádky tvoří absolutně konvergentní řady (musí konvergovat, protože vynásobením s posloupností samých jedniček dostaneme právě součet této řady; vhodnou volbou znamének u jedniček [popř. argumentů, zabýváme-li se komplexními posloupnostmi] obdržíme také absolutní konvergenci; na druhou stranu přenásobením absolutně konvergentní řady omezenou posloupností nezkazíme [ani absolutní] konvergenci).

Pokud omezíme výchozí i cílový prostor na $\ell^\infty$ , bude omezující podmínka na matice dána jako
$\sup_{i} \sum_{j=0}^{\infty} | a_{i,j} | < \infty$ ,
kde $(a_{i, j})$ je daná matice.

EDIT: Aha, teď jsem si všiml, že v mém rozboru chybí případ, kdy výchozí jsou všechny posloupnosti a cílový omezené. Ještě si to rozmyslím.

Alkac · 13. 02. 2012 16:44

Dekuju!

Ja mel dojem ze pujdou jenom row-finite ale nevedel jsem jak to dokazat a tys to pritom uz napsal (a bylo to hodne lehky).

Druhy pripad jsem neznal, ale je to logicke, dekuju :)
Dal uz to jsou ty veci kolem Toeplitze atd atd

vanok · 13. 02. 2012 16:53 — Editoval vanok (13. 02. 2012 16:55)

↑ Alkac:

Pozeral som na google
http://www.google.com/search?q=theory+m … mp;bih=586
Pohraj sa s tym...

Mozno tu nieco najdes v inych priestoroch ako Hlbert-ove

http://dergiler.ankara.edu.tr/dergiler/ … /15869.pdf

a este najst tento clanok
The American Mathematical Monthly >
Vol. 68, No. 5, May, 1961

http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ITA/I … _163_0.pdf

dobre pokracovanie

Alkac · 13. 02. 2012 17:04

↑ vanok: dekuju! uz jsem neco googloval, ale je toho strasne moc (btw je asi lepsi googlovat infinite matrix nez matrix infinity)

↑ Olin: ted jsem se zrovna chtel zeptat a koukam na tvuj edit. Vim ze nektere scitaci metody "urychluji konvergenci a zpomaluji divergenci". Treba Eulerova metoda dela z konvergentnich rychleji konvergentni a z divergentnich bud konvergentni, nebo pomaleji divergentni. Ale stejne takova metoda bude dobre definovana jenom na nejakem podprostoru vsech posloupnosti - ktery nejspis bude zaviset na tom jak rychle konvergentni budou radky v ty matici

Olin · 20. 02. 2012 19:15

Tak si myslím, že aby matice přiřadila každé posloupnosti omezenou, musí být od určitého indexu dál všechny sloupce nulové (a těch několik nenulových musí být samozřejmě omezené posloupnosti). Až si najdu trochu času, tak tu snad napíšu i důkaz.

Matematické Fórum

#1 13. 02. 2012 11:07

Nekonecna matice

#2 13. 02. 2012 13:57 — Editoval vanok (13. 02. 2012 13:58)

Re: Nekonecna matice

#3 13. 02. 2012 14:14

Re: Nekonecna matice

#4 13. 02. 2012 14:16

Re: Nekonecna matice

#5 13. 02. 2012 15:05 — Editoval Rumburak (13. 02. 2012 15:09)

Re: Nekonecna matice

#6 13. 02. 2012 15:55

Re: Nekonecna matice

#7 13. 02. 2012 16:17

Re: Nekonecna matice

#8 13. 02. 2012 16:28 — Editoval Olin (13. 02. 2012 16:41)

Re: Nekonecna matice

#9 13. 02. 2012 16:44

Re: Nekonecna matice

#10 13. 02. 2012 16:53 — Editoval vanok (13. 02. 2012 16:55)

Re: Nekonecna matice

#11 13. 02. 2012 17:04

Re: Nekonecna matice

#12 20. 02. 2012 19:15

Re: Nekonecna matice

Zápatí