Matematické Fórum

KateřinaDardová · 16. 02. 2012 16:02

Potřebovala bych pomoct s následujícím příkladem:
Pomocí vhodného Taylorova polynomu vypočítejte přibližnou hodnotu fce $f(x)=\sqrt{x}$ $x_{0}=1$ pro $\sqrt{1,2}$ s přesností na 5 desetinných míst.
Spočítala jsem TP 3-tího řádu a nevím co dál...
$T_{3}=1+(x-1)/2-(x-1)^{2}/8+(x-1)^{3}/16$
Díky

Aquabellla · 16. 02. 2012 16:50

↑ KateřinaDardová:

Dosaď do Taylorova polynomu $x = 1,2$ a tím získáš hodnotu $\sqrt{1,2}$ .

vanok · 17. 02. 2012 18:26 — Editoval vanok (17. 02. 2012 20:55)

↑ KateřinaDardová:,
Ked chces pouzit Taylor-ov polynom z urcitou presnostou, prva vec je vediet akej chyby sa dopustis pri nahradeni tvojej funkcie T-polynomom.
Preto je nutne sa venovat clenu zvysok a vediet odhadnut aka je majoracia chyby ktorej sa dopustis.
Napriklad tu mas explicitne vyjadrene zvysky v najbeznejsych formach
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem
Tak to pouzi na odhad chyby....

KateřinaDardová · 19. 02. 2012 20:52

↑ vanok:
Takže ${1,2}\approx 1+1,2+\frac{1,2^{2}}{2}+\frac{1,2^{3}}{6}+\frac{1,2^{4}}{24}+\frac{1,2^{5}}{120}$
$A(y)=\frac{f^{5}(\xi )}{120}\cdot 1,2^{5}=\sqrt{\xi }\cdot \frac{1,2^{5}}{120}<\sqrt{1,2}\cdot \frac{1,2^{5}}{120}$ ???
Ale netuším jak pokračovat...

vanok · 19. 02. 2012 21:10 — Editoval vanok (20. 02. 2012 00:11)

↑ KateřinaDardová:,

No to nestaci, aka musi byt chyba v tvojom pripade?
( ak ides po 5ty clen tvoja presnost je trochu lepsia ako $\pm 0.07$ (podla vzorca co si napisama)... a to nestaci )

Edit: v tvojom vypocte mas pouzit $x-x_0=1,2-1=0.2$ a nie $1.2$
a tiez v vzorci chyby $f^{5}(\xi )$ je 5ta derivacia funkcie f ...a nerozumiem tvojej nahrade za funkciu f...

lahko mozes ju tu najst
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d^ … %2F2%29%29

pf · 19. 02. 2012 23:46

KateřinaDardová napsal(a):
Takže ${1,2}\approx 1+1,2+\frac{1,2^{2}}{2}+\frac{1,2^{3}}{6}+\frac{1,2^{4}}{24}+\frac{1,2^{5}}{120}$
$A(y)=\frac{f^{5}(\xi )}{120}\cdot 1,2^{5}=\sqrt{\xi }\cdot \frac{1,2^{5}}{120}<\sqrt{1,2}\cdot \frac{1,2^{5}}{120}$ ???
Ale netuším jak pokračovat...

Pokračovat nelze. To vůbec nedává smysl.

vanok · 19. 02. 2012 23:53

↑ pf:,
To slovo pokracovat znamena, ze treba najst dostatocne vela clenov v Taylor-ovom rozvoji, aby chyba nahradenim danym cislom bola dostatocne mala....

KateřinaDardová · 21. 02. 2012 09:50

Taylorův polynom jsem vypsala po 9! tzn., že $A(y)=\frac{f^{(10)}(\xi) }{10!}\cdot (0,2)^{10}$
Vyučující nám k tomu nic neřekl, takže vařím z vody...

Rumburak

↑ KateřinaDardová:

Ahoj. Máme vypočítat přibližně $\sqrt{1,2}$ . Víme, že odmocninu $\sqrt{1 + h}$ lze v případě $|h| < 1$ rozvinout v binomickou řadu

$\sqrt{1 + h} = (1+h)^{\frac{1}{2}}= \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{2} \choose n} h^n$ ,

dosadíme-li sem $1 + h = x$ , dostaneme pro $|x-1| < 1$

(1) $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}= \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{2} \choose n} (x-1)^n$ .

Jde o mocninnou řadu se středem v bodě 1 a podle věty o jednoznačnosti rozvoje funkce v mocninnou řadu jde o Taylorovu řadu funkce $\sqrt{x}$
se středem v bodě 1, což speciálně znamená, že číslo ${\frac{1}{2} \choose n}\,n!$ představuje hodnotu n-té derivace funkce $\sqrt{x}$ v bodě 1. Dále to znamená,
že pro odhad rychlosti konvergence této řady můžeme použít Taylorovu větu o tvaru jejího zbytku. U odmocniny je určitý problém v tom, že její
k-tou derivaci neumíme odhadnout tak snadno jako u funkcí sinus, kosinus, takže je to o něco pracnější: indukcí odvodíme

$(\sqrt{x})^{(k)} = \frac{1}{2}$\frac{1}{2}-1$ ... $\frac{1}{2}-(k-1)$x^{\frac{1}{2}-k} ={\frac{1}{2} \choose k}\,k!\,x^{\frac{1}{2}-k}$ ,

takže pro Lagrangeův tvar zbytku řady (1) (viz literatura) dostáváme

$R_{n+1}(x) := \sqrt{x} - \sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{2} \choose k} (x-1)^k = \frac{(x-1)^{n+1}}{(n+1)\,!}\, \frac{1}{2}$\frac{1}{2}-1$ ... $\frac{1}{2}-n${\xi}^{\frac{1}{2}-(n+1)}$ ,

kde $\xi - a = \lambda(x-a) , \lambda \in (0, 1)$ . Tento odhad použijeme k určení, kolik prvních členů řady máme sečíst, abychom dosáhli
požadované přesnosti.

vanok · 21. 02. 2012 13:01

Ahoj ↑ Rumburak:,

Pekny rozvoj na pripadnu skusku z analysy, mozno by si to malo presmerovat do modelovych prikladov ... aby sa to dalo lahko pouzit v buducnosti.

Poznamka:
tu je pekne PDF ... po FR, ale apon na to pozriet moze byt poucne:
http://www.giref.ulaval.ca/~deteix/MAT- … itre_1.pdf

KateřinaDardová · 23. 02. 2012 20:54

Děkuji za pomoc...

Matematické Fórum

#1 16. 02. 2012 16:02

Taylorův polynom

#2 16. 02. 2012 16:50

Re: Taylorův polynom

#3 17. 02. 2012 18:26 — Editoval vanok (17. 02. 2012 20:55)

Re: Taylorův polynom

#4 19. 02. 2012 20:52

Re: Taylorův polynom

#5 19. 02. 2012 21:10 — Editoval vanok (20. 02. 2012 00:11)

Re: Taylorův polynom

#6 19. 02. 2012 23:46

Re: Taylorův polynom

KateřinaDardová napsal(a):

#7 19. 02. 2012 23:53

Re: Taylorův polynom

#8 21. 02. 2012 09:50

Re: Taylorův polynom

#9 21. 02. 2012 11:37 — Editoval Rumburak (21. 02. 2012 14:24)

Re: Taylorův polynom

#10 21. 02. 2012 13:01

Re: Taylorův polynom

#11 23. 02. 2012 20:54

Re: Taylorův polynom

Zápatí