Matematické Fórum

radim09 · 16. 05. 2011 11:02

Dobrý den,

Dostal jsem na výpočet příklad:
Napište číslo 75 jako součet několika po sobě bezprostředně jdoucích přirozených čísel.

Řešení:
Vím, že pomocí dvou sčítanců je to 75=37+38
pomocí tří sčítanců je to 75=24+25+26

došel jsem k závěru, že to jde pouze 5-ti způsoby (5 sčítanců, 6 sčítanců, 10 sčítanců)

nevím však jak si mám zdůvodnit, proč to nemůže být více jak 10 sčítanci a proč to nejde 7 a 9 sčítanci?

Honzc · 16. 05. 2011 11:29 — Editoval Honzc (16. 05. 2011 12:22)

↑ radim09:
Třeba takto:
1. Lichý počet sčítanců
Zvolíš "prostřední" číslo třeba x
Pak číslo před ním je x-1 a číslo za ním x+1 (a dále x-2, x+2)
Když teď uděláš součet těchto čísel (je jich lichý počet) dostaeš
např. pro počet tří číslic: x-1+x+x+1=75
a tedy 3x=75 x=75/3=25 (tedy bude to součet 25-1,25,25+1)
Tedy vždy pro lichý počet sčítanců dostaneme x=75/pls
No a protože 75/3 je celé číslo, rovněž tak 75/5, ale 75/7, 75/9 a 75/11 celá čísla nejsou
máš to vysvětlené.
Maximální lichý počet sčítanců může být takový, že mpls<=11 (i to se dá vypočítat)
2. Pro sudý počet sčítanců to zkus sám. Je to podobné a ne moc těžké.
Po editaci
x=(75+pss/2)/pss (mpss<12)
Výpočet
Lichá:
pls 75/pls ano/ne
3 25 ano
5 15 ano
7 75/7 ne
9 75/9 ne
11 75/11 ne
Sudá:
pss (75+pss/2)/pss ano/ne
2 76/2 ano
4 77/4 ne
6 78/6 ano
8 79/8 ne
10 80/10 ano

Rumburak

Ta hledaná čísla představují několik - řekněme, že m - prvních členů aritmetické posloupnosti o diferenci d=1,
tj. jde o členy a_1 , a_2 , ... , a_m , kde a_1 je přirozené číslo.
Jejich součet umíme vyjádřit jako funkci čísel a_1 , d, m . Zkusil bych pracovat s touto funkcí.

radim09 · 16. 05. 2011 12:02

↑ Honzc: No moc tomu nerozumím:((?

radim09 · 16. 05. 2011 23:07

↑ Honzc: Co znamenají prosim te zkratky pss, pls atd.? Díky

Honzc · 17. 05. 2011 08:44

↑ radim09:
kupodivu pss - počet sudých sčítanců
pls - počet lichých sčítanců

abil · 21. 02. 2012 16:06

Máte, prosím, někdo čas rozepsat, jak přijdu k sudým řešením?
Zkusila jsem takto
(x-1) + x + (x+1) + (x+2) = 75 $\Rightarrow$ 2x +2 = 75
(x-2) + (x-1) + x + (x+1) + (x+2) + (x+3) = 75 $\Rightarrow$ 2x+3 = 75
...(x-1) + x + (x+1) + ...(x+n) = 75
, ale nedojdu k řešení

Rumburak

↑ abil:

Máš tam chyby. Například

(x-1) + x + (x+1) + (x+2) = 75 $\Rightarrow$ 4x + 2 = 75 , což nemá celočíselné řešení,

ale

(x-2) + (x-1) + x + (x+1) + (x+2) + (x+3) = 75 $\Rightarrow$ 6x+3 = 75,

tj. 6x = 72, x = 12.

zdenek1 · 21. 02. 2012 16:40

↑ radim09:
součet prvních členů aritmetické posloupnosti s diferencí 1 je
$S_n=\frac n2(a_1+a_1+n-1)$ , což je podle zadání
$\frac n2(2a_1+n-1)=75$
$2a_1+n-1=\frac{150}n$ (1)

protože na levé straně rovnice je přirozené číslo, musí $n$ dělit 150. Takoví dělitelé jsou
1,2,3,5,6,10,15,25,30,50,75,150

tím máš vysvětlené, proč nejde 7, 8, 9 sčítanců

první potenciální $n>10$ je $n=15$ , ale po dosazení do (1) máš
$2a_1+14=10$ a vzhledem k tomu, že má jít o přirozená čísla, rovnice nemá řešení. A stejný argument platí i pro další $n>10$ - s vyšším $n$ se pravá strana zmenšuje