Matematické Fórum

Joerex · 23. 02. 2012 22:30 — Editoval Joerex (23. 02. 2012 22:31)

Zdravím,

mám zadanou funkci: $xz - x^2 - z^2 - y^4 + 3z + 4lny$ a mám určit lokální extrém.
Df je $R^3$
gradient( $z-2x,-4y^3 + \frac{4}{y},x-2z +3$ ) ,ale mam problém s určenim stacionárních bodů.
Z rovnic mam x = 0.+-1,1/2, z = 0,1,+-2 a y = 0,1

Mohl by mi někdo napsat všechny stac. body? Mě jich vyhází 16 což mi připadá jako kravina.

Díky za pomoc.

Rumburak

↑ Joerex:

Ahoj.

Stacionární body jsou ty, v nichž gradient je roven 0. Získáme je tedy ze soustavy

$z-2x = 0, -4y^3 + \frac{4}{y} = 0 , x-2z +3 = 0$ .

Ta se rozpadá na soustavu

(1) $z-2x = 0, x-2z +3 = 0$

a samostatnou rovnici

(2) $-4y^3 + \frac{4}{y} = 0$ .

Soustava (1) má jediné řešení $x = 1, z = 2$ . Rovnici (2) upravíme na $y^4 = 1$ , což dává dva reálné kořeny $y_{1,2} = \pm 1$ .

Stacionární body jsou proto dva, a sice $[1, 1, 2]$ , $[1, -1, 2]$ .

EDIT. Definiční obor NENÍ R3 . Musíme totiž předpokládat y > 0 kvůli logaritmu.

Joerex · 24. 02. 2012 15:12

Aha v tom případě jsem stac. body určoval špatně nebo spíš jinak, proto mi to vycházelo tak nehezky.
Jaký D(f) teda funkce má?

Rumburak

↑ Joerex:
To je velmi jednoduché, musíme brát ohled na definiční obor funkce ln y , s ostatními "částmi" funkce f problém není.
V D(f) tedy jsou obsaženy právě všechny body [x, y, z] v R3 , u nichž y > 0 . Geometricky je D(f) otevřený poloprostor
ohraničený rovinou y = 0 a obahující např. bod [0, 1, 0], který v té rovině neleží.

Joerex · 24. 02. 2012 16:53

Jasan, díky za pomoc.
Vyřešeno.

Matematické Fórum

#1 23. 02. 2012 22:30 — Editoval Joerex (23. 02. 2012 22:31)

Lokální extrém funkce více proměnných

#2 24. 02. 2012 11:09 — Editoval Rumburak (24. 02. 2012 11:13)

Re: Lokální extrém funkce více proměnných

#3 24. 02. 2012 15:12

Re: Lokální extrém funkce více proměnných

#4 24. 02. 2012 16:11 — Editoval Rumburak (24. 02. 2012 16:17)

Re: Lokální extrém funkce více proměnných

#5 24. 02. 2012 16:53

Re: Lokální extrém funkce více proměnných

Zápatí