Matematické Fórum

Sulfan · 25. 02. 2012 11:35

Ahoj,
řeším následující neurčtý integrál pro všechna $x \in \mathbb{R}$ .

$\int \frac{x\cdot e^{\arctan(x)}}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\text{dx}$

V zadání je napsáno, že by měl jít nejsnáze řešit pomocí metody per partes, ale pokaždé, když jsem ji zkusil použít pro nějakou volbu $u,{v}'$ , tak se integrál ještě více zesložitil. Nemáte nějaký tip?

Děkuji.

jardofpr · 25. 02. 2012 11:40

↑ Sulfan:

ahoj, čo $x=tg t$ ?

Sulfan · 25. 02. 2012 11:55 — Editoval Sulfan (25. 02. 2012 12:00)

↑ jardofpr:
To znamená druhá věta o substutici?

$x=tg(t)$
$t=arctg(x)$
$dx=\frac{1}{cos^2(t)}dt$

To dá integrál
$\int \frac{tg(t)\cdot e^{t}\cdot \frac{1}{cos^2(t)}}{(1+tg^2(t))\cdot \sqrt{1+tg^2(t)}}dt=\int \frac{tg(t)\cdot e^{t}\cdot \frac{1}{cos^2(t)}}{(\frac{1}{cos^2(t)})\cdot \sqrt{1+tg^2(t)}}dt=\\ \int \frac{tg(t)\cdot e^t}{\frac{1}{\left | cos(t) \right |}}dt=\int \frac{sin(t)}{cos(t)}\cdot |cos(t)|\cdot e^tdt=sgn(cos(t))\cdot \int sin(t)\cdot e^tdt=$

Teď per partes a je hotovo?

jardofpr · 25. 02. 2012 11:59

↑ Sulfan:

pri tých úpravách by si určite nemal mať v tom istom kroku pôvodnú aj transformovanú premennú, funkcia sa musí transformovať úplne

Sulfan · 25. 02. 2012 12:00

Jo, jasný - jsem zapomněl přepsat x na t (jinak ten tvar byl asi dobře).

jardofpr

↑ Sulfan:

no výsledok by mal byť dobre
ale ten prvý zlomok máš aj tak zbytočne zložitý

teda chcem tým povedať že by asi bolo lepšie
$\mathrm{arctg}\,(x) = t$
$\frac{\mathrm{dx}}{1+x^2}=dt$

z toho rovno vylezie iba $\int \frac{\mathrm{e}^t\mathrm{tg}\,(t)}{\sqrt{1+\mathrm{tg}^{2}(t)}}\,\,\mathrm{dt}$

pravdupovediac ma trochu trapi na tom nespojitost vyslednej funkcie
ked tak na to pozeram
funkcia v zadani je spojita vsade, zda sa mi blbost aby mala nespojitu primitivnu funkciu
to bude chciet inu cestu
ono ta tangensova substitucia totiz rozdeli definicny obor na intervaly dlzky pi, a v krajnych bodoch to moze potom uletiet, na to sme nejak nepomysleli
predsa to bude chciet inu cestu zrejme
minimalne spojitu substituciu nejaku ked tak

Sulfan · 25. 02. 2012 12:20 — Editoval Sulfan (25. 02. 2012 12:21)

↑ jardofpr: aha, ušetřil bych jeden krok, to je pravda. Nicméně tedy bych dál po provedení per partes na $sin(t)*e^t$ pokračoval na:

$sgn(cos(t))\cdot \frac{1}{2}e^{t}*(sin(t)-cos(t))=\frac{1}{2}\cdot sgn(cos(arctg(x)))\cdot e^{arctg(x)}\cdot (sin(arctg(x))-cos(arctg(x)))=$
$=\frac{1}{2}\cdot sgn\left ( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right )\cdot e^{arctg(x)}\cdot \left ( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} - \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right )=\color{red}{ \frac{e^{arctg(x)}(x-1)}{ {2\cdot \sqrt{x^2+1}}}}$

edit: Výsledná funkce je všude spojítá, kde by mohl být zádrhel?

jardofpr

↑ Sulfan:

teoreticky tam zádrhel je
substitúcia čo sme spravili obmedzila $t$ o body $\frac{(2k+1)\pi}{2}\,\,,k \in \mathbb{Z}$

pre ne sme ďalšie úpravy robiť nemohli, tým padom funkcia ktorú sme našli je primitívnou ku funkcii pod integrálom na interevaloch rovnakej dĺžky,
teoreticky nezáleží na tom či je spojitá alebo nie lebo už od tej substitúcie v tých bodoch nie je definovaná

Sulfan · 25. 02. 2012 12:35 — Editoval Sulfan (25. 02. 2012 12:36)

↑ jardofpr: Ale zároveň, když v těchto bodech spočítáme limitu primitivní funkce zprava i zleva, tak se rovnají, tudíž funkční hodnotu v takovém bodě můžeme dodefinovat jako hodnotu této limity (což není nutné, protože jde o přímo funkční hodnotu). Nebo ne?

jardofpr

↑ Sulfan:

to máš pravdu, tá funkcia je primitívna k podintegrálnej na celom $\mathbb{R}$ ,
len vravím že sme ju týmto na celom $\mathbb{R}$ nenašli

v tomto prípade je to ok, dá sa to vyriešiť ako si povedal
ale vo všeobecnosti to úplne korektné zrejme nebude, len tolko som chcel povedať :)

každopádne výsledok je správny

inak per partes by bol
$u'= \frac{x}{\sqrt{(1+x^{2})^{3}}}$
$v=\mathrm{arctg}\,\,(x)$

Sulfan · 25. 02. 2012 12:41

↑ jardofpr: Díky za objasnění, označuji za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 25. 02. 2012 11:35

Neurčitý integrál (per partes)

#2 25. 02. 2012 11:40

Re: Neurčitý integrál (per partes)

#3 25. 02. 2012 11:55 — Editoval Sulfan (25. 02. 2012 12:00)

Re: Neurčitý integrál (per partes)

#4 25. 02. 2012 11:59

Re: Neurčitý integrál (per partes)

#5 25. 02. 2012 12:00

Re: Neurčitý integrál (per partes)

#6 25. 02. 2012 12:05 — Editoval jardofpr (25. 02. 2012 12:19)

Re: Neurčitý integrál (per partes)

#7 25. 02. 2012 12:20 — Editoval Sulfan (25. 02. 2012 12:21)

Re: Neurčitý integrál (per partes)

#8 25. 02. 2012 12:33 — Editoval jardofpr (25. 02. 2012 12:35)

Re: Neurčitý integrál (per partes)

#9 25. 02. 2012 12:35 — Editoval Sulfan (25. 02. 2012 12:36)

Re: Neurčitý integrál (per partes)

#10 25. 02. 2012 12:38 — Editoval jardofpr (25. 02. 2012 12:41)

Re: Neurčitý integrál (per partes)

#11 25. 02. 2012 12:41

Re: Neurčitý integrál (per partes)

Zápatí