Matematické Fórum

elypsa · 25. 02. 2012 17:40

Ahoj chtěl bych poprosit o nějakou radu. Vůbec nevím jak s tím hnout.
Do kosočtverce ABCD s úhlopříčkou e, f je vepsán čtverec MNPQ tak, že vždy jeden jeho vrchol leží na straně kosočtverce. Velikost strany čtverce je:

výsledek $\frac{ef}{e+f}$

Děkuji mnohokrát!

Anonymystik

↑ elypsa: Ahoj. Není mi zcela jasné, co se v této úloze má udělat. Má se jako určit strana čtverce?

eldest · 25. 02. 2012 18:00

↑ Anonymystik:
Ano napsal to tam.

Anonymystik

Abychom se neztratili při práci se zlomky, zavedeme substituce:
$A = \frac{a}{2}$ (*)
$E = \frac{e}{2}$ (*)
$F = \frac{f}{2}$ (*)
Pro řešení vydedukujeme podobnost trojúhelníků. Z obrázku a textu pod ním vydíme, že platí vztahy:
(1) $\frac{E - A}{A} = \frac{E}{F}$
(2) $\frac{A}{F - A} = \frac{E}{F}$
Vydíme, že pravé strany jsou shodné => srovnáme levé strany:
$\frac{E - A}{A} = \frac{A}{F - A}$
Odtud snadno vyjádříme A jako:
$A = \frac{E F}{E + F}$
Nyní za výrazy A, E, F dosadíme a vztahy (*) a dostaneme:
$\frac{a}{2} = \frac{\frac{ef}{4}}{ \frac{e}{2} + \frac{f}{2}}$ , což po úpravě dává:
$a = \frac{ef}{e + f}$
a jsme hotoví.