Matematické Fórum

pecablazek

$\text{y´ sin x + y cosx=xcosx}$

potřeboval bych poradit jak začít

kompik · 25. 02. 2012 16:09

pecablazek napsal(a):
$\text{y´ sin x + y cosx=xcosx}$

potřeboval bych poradit jak začít

Jedna moznost je riesit homogennu sustavu a potom skusit metodu variacie konstant.

Ina moznost je vsimnut si, ze lava strana je presne $(y\sin x)'$ .

Cize po substitucii $z(x)=y(x)\sin x$ dostavame novu rovnicu $z'=x\cos x$ .

Ak sa nam podari vyriesit tuto rovnicu, spatne z jej riesenia mozeme dostat riesenie povodnej rovnice: $y(x)=\frac{z(x)}{\sin x}$ .

pecablazek

↑ kompik:
Takže pokud by jsme řešili rovnici homogenně, tak by to bylo

$\text{y´ sinx + y cosx =0}$
$\text{y´= -sinx + y cos x}$

začínám takhle správně?..

kompik · 26. 02. 2012 14:55 — Editoval kompik (26. 02. 2012 15:03)

Tato druha rovnost je chybne.

pecablazek napsal(a):
$y'= -\sin x + y \cos x$

Rovnica $y'\sin x+y\cos x=0$ je separovatelna. Da sa prepisat ako
$y'\sin x=-y\cos x$
$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\frac1y=-\frac{\sin x}{\cos x}$
$\frac{\textrm{d}y}y=-\frac{\sin x}{\cos x} {\textrm{d}x}$

pecablazek · 26. 02. 2012 16:00

↑ kompik:
takže ted zintegrujeme výraz

$\text{dy/y = -sinx/cosx *dx}$

tím získáme
$\text{ln (y) = cosx/sinx}+C$

kompik · 26. 02. 2012 16:07

pecablazek napsal(a):
↑ kompik:
takže ted zintegrujeme výraz

$\text{dy/y = -sinx/cosx *dx}$

tím získáme
$\text{ln (y) = cosx/sinx}+C$

Sory, spravil som v predoslom prispevku chybu pri upravach.
Malo byt
$\frac{\mathrm{d}y}y = - \frac{\cos x}{\sin x} \mathrm{d}x$

Zintegrovanim dostaneme:
$\ln y= - \ln \sin x + C$

$y=\frac C{\sin x}$

pecablazek · 26. 02. 2012 16:19

↑ kompik:

tohle je tedy řešení homogenní rovnice ted tedy pomocí variací konstant udělám

$\text{y´= C/sinx}$

kompik · 26. 02. 2012 16:22

↑ pecablazek:
Zrejme si myslel:
$y(x)=\frac{C(x)}{\sin x}$
$y'(x)=\frac{C'(x)\sin x-C(x)\cos x}{\sin^2x}$ .
Treba skusit dosadit do povodnej rovnice a skusit z riesit $C(x)=?$

pecablazek · 26. 02. 2012 16:42

↑ kompik:

takže $\text{C´sinx =xcosx}$

kompik · 26. 02. 2012 16:51

↑ pecablazek:
Ked dosadim
$y(x)=\frac{C(x)}{\sin x}$
$y'(x)=\frac{C'(x)\sin x-C(x)\cos x}{\sin^2x}$
do povodnej rovnice dostanem
$y'\sin x+y\cos x = \frac{C'(x)\sin^2x -C(x)\cos x\sin x+C(x)\cos x\sin x}{\sin^2x}=\frac{C'(x)\sin^2x}{\sin^2x}=C'(x)=x\cos x$

Z rovnica $C'(x)=x\cos x$ tohoto sa da zintegrovat $C(x)$ .

pecablazek · 26. 02. 2012 16:57

↑ kompik:

$\text{C=sinx +k }$

integrované

pak

$\text{C=sinx +k \text{y=k+sinx/x}}$

kompik · 26. 02. 2012 17:01

↑ pecablazek:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … cos%28x%29
Podla wolframalpha
$C(x)=x\sin x+\cos x+C$ .

pecablazek · 26. 02. 2012 17:13

↑ kompik:
y vyjadřím jak tedy:

$\text{y=sinx + cosx +k/x}$

kompik · 26. 02. 2012 17:17 — Editoval kompik (26. 02. 2012 17:17)

kompik napsal(a):
↑ pecablazek:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … cos%28x%29
Podla wolframalpha
$C(x)=x\sin x+\cos x+C$ .

$y(x)=\frac{C(x)}{\sin x}=x+\frac{\cos x}{\sin x} + \frac C{\sin x}$ .
Taky vysledok vyslel aj tu
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% … cos%28x%29

pecablazek

↑ kompik:
a pokud chceme aby y( pí/2) =pí/2 tak dosadíme za y to pí/2?

Matematické Fórum

#1 25. 02. 2012 14:21 — Editoval pecablazek (25. 02. 2012 14:25)

partikulární řešení diferenciální rovnice

#2 25. 02. 2012 16:09

Re: partikulární řešení diferenciální rovnice

pecablazek napsal(a):

#3 26. 02. 2012 14:51 — Editoval pecablazek (26. 02. 2012 14:52)

Re: partikulární řešení diferenciální rovnice

#4 26. 02. 2012 14:55 — Editoval kompik (26. 02. 2012 15:03)

Re: partikulární řešení diferenciální rovnice

pecablazek napsal(a):

#5 26. 02. 2012 16:00

Re: partikulární řešení diferenciální rovnice

#6 26. 02. 2012 16:07

Re: partikulární řešení diferenciální rovnice

pecablazek napsal(a):

#7 26. 02. 2012 16:19

Re: partikulární řešení diferenciální rovnice

#8 26. 02. 2012 16:22

Re: partikulární řešení diferenciální rovnice

#9 26. 02. 2012 16:42

Re: partikulární řešení diferenciální rovnice

#10 26. 02. 2012 16:51

Re: partikulární řešení diferenciální rovnice

#11 26. 02. 2012 16:57

Re: partikulární řešení diferenciální rovnice

#12 26. 02. 2012 17:01

Re: partikulární řešení diferenciální rovnice

#13 26. 02. 2012 17:13

Re: partikulární řešení diferenciální rovnice

#14 26. 02. 2012 17:17 — Editoval kompik (26. 02. 2012 17:17)

Re: partikulární řešení diferenciální rovnice

kompik napsal(a):

#15 26. 02. 2012 17:24 — Editoval pecablazek (26. 02. 2012 17:25)

Re: partikulární řešení diferenciální rovnice

Zápatí