Matematické Fórum

cmaja · 26. 02. 2012 13:49

Zdravím potřeboval bych pomoct s následujícím polynomem:
$x^{5}-8x^{4}+12.47x^{3}+17.420x^{2}-22.8204x-5.1480=0$

Mám za úkol odhadnout kolik má tato rovnice kladných, záporných a komplexních kořenů, a kde tyto kořeny leží.

Pozn:
Řešení vypracujte tak, aby z nej bylo možné rekonstruovat Vaše úvahy. Odpovědi zdůvodněte. (nesmí se použít k řešení počítač ani grafická kalkulačka)

Odhad kladných a záporných kořenů znám:
Podle Descartesovi věty jsou kladné kořeny buď 3 nebo 1. A záporný jsou 2.

Nevím jak odhadnout komplkexní kořeny?

Poloha kořenů by mohla se najít podle tohoto:

Je to tak?

vanok · 26. 02. 2012 15:16 — Editoval vanok (26. 02. 2012 15:19)

↑ cmaja:,
Tvoj odhad, alebo lokalizacia korenov tvojho polynomu ( vdaka danemu vzorcu...a je aj vela inych) znamena, ze vsetky korene su v korune ( komplexnej rovine) ktorej hranice su kruznice v danom priklade su $K_1(0;\frac 1 {426})$ a $K_2(0; 426)$
Urob si nacrt a uvidis tu lokalizaciu....

Na studium realnych korenov, sa my zda ze vysetrit variacie tvojej polynomialnej funkcie moize byt uzitocne...

Inac v tvojom priklade napriklad 12.47 znamena ze ide o desattine cislo?

cmaja · 26. 02. 2012 16:15

↑ vanok:
ano číslo 12.47 je desetinné číslo 12,47. Pořád ale nevím odhad počtu komplexních kořenů.

vanok · 26. 02. 2012 16:25

↑ cmaja:,
Skus pouzit navod co som ti napisal.
Po urceni medzikruzia vysetri variacie polynomu... tak do prace.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

cmaja · 26. 02. 2012 17:10

↑ vanok:
nějak to nechápu. Mám odhadnout jaký je počet komplexních kořenů. Když zjistím průnik kružnice K1 a K2, tak budu mít oblast ve které se kořeny nachází, ale ne jejich počet. Prvně bych chtěl znát počet.

Z Cauchyho podmínky vím, že kořeny toho polynomu jsou obsaženy v kruhu v komplexní rovině:
$\Gamma =\{z\in \mathbb{C}:|z|\le 23.8204\}$

Já nějak netuším co s tím jsem asi úplně blbý. Já ani nevím variaci polynomu. Nevím jak se zjišťuje počet komplexních kořenů, žádnou větu jsem na to nenašel. Nemáte nějaky lepší skripta o polynomech, kde bych něco nastudoval?

Ještě bych měl, takovou otázku, kdy polynom nemá žádný reálný kořen? Mám vytvořit polynom alespoň stupně 7, který nemá žádný reálný kořen (smí mít nejvýše dva nulové koeficienty a svou odpověď zdůvodněte).

vanok · 27. 02. 2012 12:46

↑ cmaja:,
Ceske skripta na tu temu nepoznam.
A ake pouzivate na doplnok prednasok vaseho profesora?
Ten material co si dal v prvom prispevku vyzera dobre urobeny...to nie je z tych skript?
Co sa tyka variacii polynomyckej funkcie, tak ta sa vyusetruje ako hocijaka ina funkcia....a to najdes aj v materialoch co su na tomto fore.
Co sa tyka polynomu: vieme, ze kazdy polynom neparneho stupna z realnymy coeficientamy ma aspon jeden realny koren.
Tak tvoj novy problem, najst polynom aspon siedmeho stupna bez realnych korenov bude parneho stupna. (8°; 10°; ...)
Vytvorit je ho mozne viacerymy sposobmy
Tu mas dve metody:vytvor polynomy 2° take ze maju konstatne znamienko (mozes ich zobrat ze su pozivne) a vyber take 4 a ich medzi sebou vynasob a prides k polynomu 8° ...ale to nezarucuje vseobecne tvoju podmienku o nenulovych koeficientoch... tak sa budes mozno z tym hrat aby si dostal taky aky hladas.

Ina metoda: vieme ze polynom $x^9-1$ ma jedinny realny koren: $1$ ...a jeho vseki korene su zobrazene v komplexnej rovine na jednodkovej kruznici zo stredom v pociatku a tvoria pravidelny 9 uholnik.( to je stredna skola)
a tak sa pise vo forme $x^9-1=(x-1)P(x)$ kde
$P(x)=x^8+x^7+x^6+..+x+1$
a tento splnuje tvoje podmienky
Dufam ze ti toto staci a mozno ti tu niekto poradi z nejakymi inymy skriptamy ako tie co uz mas....

cmaja · 29. 02. 2012 01:52

↑ vanok:
Odhad komplexních kořenů toho polynomu na začátku by mohl být takový, že můžou být 2 ( k nim komplexně sdružené)= to odpovídá násobením dvou kvadratických rovnic, které mají záporný diskriminant. Nebo druhá varianta je jen jeden komplexní kořen ( a k němu jeden komplexně sdružený) = odpovídá jedné kvadratické rovnici se záporným diskriminantem. Nebo poslední varianta, že prostě nemá žádný komplexní kořen.
Takovýto odhad by měl stačit ne?

No a touto úvahou můžu sestavit polynom, který nemá reálné kořeny, tak že budu mezi sebou násobit 4 kvadratické rovnice, které mají záporný diskriminant. Potom tato rovnice bude mít jen komplexní kořeny.
Je má úvaha správná?

kaja.marik · 29. 02. 2012 07:00

cmaja napsal(a):
Odhad kladných a záporných kořenů znám:
Podle Descartesovi věty jsou kladné kořeny buď 3 nebo 1. A záporný jsou 2.

Pekny den, z Descartovy vety plyne, ze zaporne jsou dva nebo zadny. Asi byste mela napsat, proc vylucujete tu moznost, ze zaporny neni zadny.

cmaja · 29. 02. 2012 08:00

↑ kaja.marik:
Nevyloučil jsem, jen jsem zapomněl záporné taky snížit o sudý počet. Takže budou buď 2 nebo 0.

vanok · 29. 02. 2012 09:20 — Editoval vanok (29. 02. 2012 09:30)

↑ cmaja:
mas pravdu, vsak moje polynomy su tie iste ako tvoje... len som to inac vyjadril,
ale moja poznamka co som napisal vyssie ↑ vanok:plati : pisal som ..ale to nezarucuje vseobecne tvoju podmienku o nenulovych koeficientoch...
cize bude treba overit pocet nenulovych koeficientov (o ktorych vyzadujes, ze musia byt nenulove, az pripadne najviac na 2)

Druha metoda, ma vyhodu, lebo zarucuje, ze vsetki koeficienky su nenulove.

cmaja · 29. 02. 2012 11:08

↑ vanok:
jj tu zaručím tím, že budou ty kvadratické rovnice různé. Když jsou všechny stejné, tak mi vymizeli liché koeficienty.

Tím pádem díky, a můžeme považovat za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 26. 02. 2012 13:49

Odhad komplexnéch kořenů polynumu

#2 26. 02. 2012 15:16 — Editoval vanok (26. 02. 2012 15:19)

Re: Odhad komplexnéch kořenů polynumu

#3 26. 02. 2012 16:15

Re: Odhad komplexnéch kořenů polynumu

#4 26. 02. 2012 16:25

Re: Odhad komplexnéch kořenů polynumu

#5 26. 02. 2012 17:10

Re: Odhad komplexnéch kořenů polynumu

#6 27. 02. 2012 12:46

Re: Odhad komplexnéch kořenů polynumu

#7 29. 02. 2012 01:52

Re: Odhad komplexnéch kořenů polynumu

#8 29. 02. 2012 07:00

Re: Odhad komplexnéch kořenů polynumu

cmaja napsal(a):

#9 29. 02. 2012 08:00

Re: Odhad komplexnéch kořenů polynumu

#10 29. 02. 2012 09:20 — Editoval vanok (29. 02. 2012 09:30)

Re: Odhad komplexnéch kořenů polynumu

#11 29. 02. 2012 11:08

Re: Odhad komplexnéch kořenů polynumu

Zápatí