Matematické Fórum

studentka · 25. 02. 2012 09:40

Dobrý den, potřebovala bych pomoct s dvěma příklady:
1. $\int_{}^{}\frac{5x-3}{\sqrt{2x^{2}+8x+1}}$
2. $\int_{}^{}\sqrt{3+4x-x^{2}}$
V 1. příkladě dojdu k $\frac{5}{4}*\int\frac{4x+8}{\sqrt{2x^{2}+8x+1}}dx-13*\int\frac{1}{\sqrt{2x^{2}+8x+1}}$ , ale pak nevím, jak pracovat se substituční metodou.
V 2. příkladě je to podobné, tam jsem došla k $\int \sqrt{7-(x-2)^{2}}dx$ .
Děkuju za pomoc

jardofpr

↑ studentka:

ahoj,
1.) ten prvý si si pripravila pekne pre substitúciu $2x^2+8x+1=t \,,\, (4x+8) dx=dt$

vylezie z toho $\frac{5}{4}\int_{}^{} \frac{\mathrm{dt}}{\sqrt{t}}$
to sa dá dorátať celkom ľahko a spätne dosadiť

ten druhý by sa mal dať dotlačiť do nejakého vzorca
vytiahnuť z menovateľa $\sqrt{2}$ pred integrál
a upraviť na štvorec:

$-13\int_{}^{} \frac{dx}{\sqrt{2x^2+8x+1}}=-\frac{13}{\sqrt{2}}\int_{}^{} \frac{dx}{\sqrt{x^2+4x+\frac{1}{2}}}=-\frac{13}{\sqrt{2}}\int_{}^{} \frac{dx}{\sqrt{(x+2)^2-\frac{7}{2}}}=$
$\left| \begin{array}{c} x+2 = t \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, dx=dt\end{array}\right|=-\frac{13}{\sqrt{2}}\int_{}^{} \frac{dt}{\sqrt{t^2-\bigg(\sqrt{\frac{7}{2}}\bigg)^{2}}}$

to už je tabuľkový integrál

2.) začala si dobrým krokom pre zjednodušenie ďalších úprav, hoci nie je nutný, sprehľadní
najprv substitúcia $x-2=t \,\,,\,\, dx=dt$
dostaneš $\int_{}^{} \sqrt{7-t^{2}}\,\,\mathrm{dt}$

vynásobíš funkciu pod integrálom jednotkou v tvare $\frac{\sqrt{7-t^{2}}}{\sqrt{7-t^{2}}}$
v čitateli už nemáš teraz odmocninu a môžeš integrál rozdeliť na
$7\int_{}^{} \frac{\mathrm{dt}}{\sqrt{7-t^2}}-\int_{}^{}\frac{t^{2}\,\mathrm{dt}}{\sqrt{7-t^2}}$

ten prvý je zas tabuľkový a ten druhý pôjde cez per partes

studentka · 27. 02. 2012 09:40

Při té substituci, když si zvolím něco za t, tak dt je derivace toho t ? Jinak děkuji za předchozí odpověď

Rumburak · 27. 02. 2012 10:25

↑ studentka:
To $\mathrm{d}t$ je diferenciál, což je něco jiného než derivace $t'(x)$ , i když s ní souvisí: $\mathrm{d}t=\mathrm{d}t(x) = t'(x) \,\mathrm{d}x$ .

studentka · 27. 02. 2012 16:00

Děkuju

studentka · 03. 03. 2012 11:10

u toho druhého příkladu bych potřebovala pomoct. provedla jsem substituci a vyšlo mi $\int_{}^{}\sqrt{7-u^{2}}du$ a pak mi poradili další substituci $|u=\sqrt{7 }\sin s \Rightarrow du=\sqrt{7}\cos s |$ $a |\sqrt{7-u^{2}}=\sqrt{7-7\sin ^{2}s}=\sqrt{7}\cos s\Rightarrow s=arc\sin =\frac{u}{\sqrt{7}}|$ a pak nevím, jak je možné z této substituce dostat $7 \int_{}^{}\cos ^{2}s ds$ . Pokud by se mohlo umocňovat, tak by mi to taky tak vyšlo, ale pokud ne, tak nevím.