Matematické Fórum

111ago111 · 27. 02. 2012 15:52

Neviete niekto poradiť?? Súčet prvých troch členov GP je 21 súčet ich mocnín je 189.Urči tieto čísla.Ďakujem

standyk · 27. 02. 2012 16:18

↑ 111ago111:

Skús si to zapísať pomocou rovníc tak, aby si dostal 2 rovnice o 2 neznámych.

marnes · 27. 02. 2012 16:23 — Editoval marnes (27. 02. 2012 16:24)

$a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}=21$ $a_{1}(1+q+q^{2})=21$
$a^{2}_{1}+a^{2}_{1}q^{2}+a^{2}_{1}q^{4}=189$ $a^{2}_{1}(1+q^{2}+q^{4})=189$

z první vyjádříme $a_{1}$ a dosadíme do druhé, umocníme a upravíme a dostaneme rovnici

$2q^{4}-3q^{3}-q^{2}-3q+2=0$

a kořenem je q=2 a a1=3

možná je i jednodušší řešení

Cheop · 27. 02. 2012 16:31 — Editoval Cheop (27. 02. 2012 16:48)

↑ 111ago111:
$a_1+a_2+a_3=21\\a_1+a_1q+a_1q^2=21\\a_1=\frac{21}{q^2+q+1}\\a_1^2=\frac{441}{(q^2+q+1)^2}$
$a_1^2+a_2^2+a_3^2=189\\a_1^2+a_1^2q^2+a_1^2q^4=189\\a_1^2(q^4+q^2+1)=189\\a_1^2=\frac{189}{(q^2+q+1)(q^2-q+1)}$
$\frac{441}{(q^2+q+1)^2}=\frac{189}{(q^2+q+1)(q^2-q+1)}\\3(q^2+q+1)=7(q^2-q+1)$ - úpravou:
$2q^2-5q+2=0\\q_1=2\\q_2=\frac 12$
Pro q=2
$a_1=\frac{21}{q^2+q+1}\\a_1=\frac{21}{4+2+1}\\a_1=3$
$a_2=a_1q\\a_2=3\cdot 2=6\\a_3=12$

Ta čísla tedy jsou :
3,6,12 nebo 12,6,3(pro q=1/2)