Matematické Fórum

Dobrý deň, potreboval by som sa poradiť ohľadom nejakých nerovností. Mojím cieľom bolo dokázať platnosť nerovnosti
, kde
a + b = k +l a max{a,b} > max{k,l}, x,y sú kladné, a,b,k,l celé čísla využitím AG. Viem, že platí niekoho (nesopmeniem si meno) veta, poďla  ktorej to platí automaticky a netreba to dokazovať pre konkrétne a,b,k,l. Podarilo sa mi ukázať, že vždy môžem použiť AG nerovnosť, ktorá bude viesť k výsledku (hoci využitie tej danej vety by viedlo k výsledku asi rýchlejšie).

Ak však dodám jednu premennú z, tak nerovnosť je:

postup pomocou AG prestane fungovať všeobecne - napr. aj v prípade ak jedna z mocnín bude 0. Tiež dokázanie takejto nerovnosti cez AG všeobecným postupom neprejde - otázka teda je, či táto nerovnosť platí alebo neplatí pre nejakú trojicu x,y,z. Pre x = 0, y =1, z=5 neplatí. Ale čo keď povolím pre x,y,z len kladné čísla? Zrejme aj keď x zvolím blízke 0, tak nebude platiť. Čo ak ale pre mocniny stanovím, že môžu byť len kladné (teraz tam mám jednu nulovú na každej strane). Otestoval som, že aj v takom prípade nebude možné použiť AG - ale neviem prečo. Tu je ukážka nerovnosti, ktorá neplatí pre nejakú trojicu.


Má to niečo s tým, že keď sú len dve premenné je nerovnosť nutne symetrická, avšak keď je premenných 3 a viac už je len homogénna?

Poradíte mi nejak? :) Ďakujem.