Matematické Fórum

zuzik1 · 28. 02. 2012 15:16

Ahoj nejsem si úplně jistá zda jsem našla všechny stacionární body funkce, která je na množině, abych mohla zjistit, kde přesně jsou globální extrémy funkce.

Zadání:

Stacionární body jsou určitě vrcholy obdélníku. Potom udělám parciální derivace prvního řádu výjdou nějak takto:
$f'_x=3x^2-3y\ a\ f'_y=3y^2-3x$
Derivace položím rovno nule a výjde mi $x_1=0\ a\ x_2=1$ a $y_1=0\ a\ y_2=1$
takže další stacionárními body jsou (0,0) a (1,1)
Mno pokud jsem našla všechny stacionární body tak jsou to tyhle:
$(0,0),(1,1), (0,2),(0,-1),(2,-1),(2,2)$
Jsou to opravdu všechny? Myslím, že spíše ne, ale nevím jak ty zbylé mám dohledat. Děkuji za pomoc :-)

jardofpr

↑ zuzik1:

ahoj,
no nejaké stacionárne body by mohli byť ešte na hranici tej oblasti
aj sú,
skontrolovať body je málo, treba skontrolovať celú hranicu

Rumburak

↑ zuzik1:
Z rovnic $f'_x=3x^2-3y = 0$ , $f'_y=3y^2-3x = 0$ , plyne, že stacionárními body jsou všechny takové body obdélníka, které leží zároveň na křivkách
o rovnicích $y = x^2$ , $x = y^2$ (jsou to paraboly). Globální extrémy nutno hledat na těchto parabolách (resp. na jejich průniku s obdélníkem) a na hranici
obdélníka.

zuzik1 · 28. 02. 2012 15:49

A když si teda do obrázku zakreslím ty paraboly tak jak potom z toho zjistím ten stacionární bod?
Napadlo mě přes tuhle rovnici
$f(2,y)=2^3+y^3-6y$ z toho derivace $f'(y)=3y^2-6$ a když ji dám rovno nule tak mám bod $(2,\sqrt{2})$
Je to správně?
ted jsem se ale zasekla jak najít bod na úšečce (0,-1),(2,-1)

jardofpr

↑ zuzik1:

no to je dobra cesta
no na tej úsečke nejak podobne či nie?
kde je problém?
dosadenie jednej súradnice ktorá je pevná pre všetky body na priamke rovnobežnej s niektorou osou bude
fungovať na všetky štyri hrany

zuzik1 · 28. 02. 2012 16:05 — Editoval zuzik1 (28. 02. 2012 16:08)

Mno že nevím co přesně mám dát za x a když dám že $y=-1$ tak mi potom výjde
$f(x,-1)=x^3-1+3x$ a derivace $f(x)=3x^2+3$ $3x^2+3=0$ tak mi vychází mínus pod odmocninou.
jinak další bod bude $f(x,2)=x^3+2^3-6x$ a bod z tohohle bude $(\sqrt2,2)$

jardofpr

↑ zuzik1:

no, keď tam nie je koreň tak tam zrejme nebude ani extrém
z toho čo si našla vyplýva že tá derivácia je kladná na tej priamke
to by ti malo dať informáciu o tom kde je na tej hrane najvyśšia a najnižšia hodnota ;-)

oki? :)

zuzik1 · 28. 02. 2012 16:15

Takže krom těch krajních bodů obdélníka na ní žádný jiný bod nebude. A už jsou to všechny body ne? protože jsem prošla všechny hranice.

Rumburak

↑ zuzik1:

Průběh dané funkce f je potřeba vyšetřit už jen na těch křivkách (včetně hraničních úseček), ostatní body obdélníka nás nezajímají.

Na křivce $y = x^2$ tedy půjde o vyšetřování průběhu funkce $g(x) := f(x,x^2)=x^3 + x^6 - 3x^3 = x^6 - 2x^3$ na vhodném intervalu
(daném podmínkou, aby bod $[x, x^2]$ padl do vnitřku obdélníka; krajní body nás teď nebudou zajímat, na ty se dostane, až budeme vyšetřovat
tu hranici obdélníka). Situaci si zjednodušíme substitucí $x^3 = t$ .

jardofpr

↑ zuzik1:

tak tak,
a pokiaľ si prešla všetky štyri a nenašla si ďalšie tak zrejme už ďalšie nebudú
prešla si všetky štyri úsečky takto?

zuzik1 · 28. 02. 2012 16:32 — Editoval zuzik1 (28. 02. 2012 16:34)

Mno $t=\sqrt\frac23\ \Rightarrow x=\sqrt[6]{\frac23}$ a $f(\sqrt[6]{\frac23},x^2)=(\sqrt[6]{\frac23})^3+x^6-3x^2\sqrt[6]{\frac23}$ to je nejspíš blbost že?

mno aspoň jsem se o to pokusila je takto projít :-)

jardofpr · 28. 02. 2012 16:52

↑ zuzik1:

mali by byť všetky

Rumburak · 28. 02. 2012 17:13

↑ zuzik1:

Jestliže ta substituce v ↑ Rumburak: působí problém, tak na ni zapomeň, není nijak podstatná. Stacionární bod funkce $g(x) := x^6 - 2x^3$ najdeme
obvyklým způsobem (derivace g = 0) , vyjdou dva : x = 0 , x = 1 . První z nich vede k bodu [0, 0] na hranici obdélníka (připomeňme si, že pracujeme na křivce
$y = x^2$ a v souvislosti s touto křivkou nás tento bod nemusí zajímat, protože pokud je v něm lokální extrém funkce f, projeví se to při vyšetřování hranice,
což tak jako tak musíme provést). V bodě x = 1 je lokální minimum funkce g, takže bod $[x, x^2] = [1, 1]$ ležící na vyšetřované parabole a uvnitř obdélníka je
jedním z kandidátů na extrém funkce f.

zuzik1 · 28. 02. 2012 17:22

Tak já spíš nevím jak to přesně provádět s těma parabolama, protože bod (1,1) jsem už našla hned při první praciální derivaci, kterou jsem položila rovno nule a vyšly mi dva body bod (1,1) a bod (0,0).

Rumburak · 29. 02. 2012 09:56

↑ zuzik1:
Žes našla bod [1, 1] standardním způsobem hned na začátku, jsem si včera nevšiml - omlouvám se za nepozornost.

V tomto kontextu si uvědomuji, že s těmi parabolami jsem to zbytečně složitým způsobem překombinoval. Nechal jsem se
totiž strhnout myšlenkou dospět k bodu [1, 1] alternativní cestou.

zuzik1 · 29. 02. 2012 12:28

V pohodě :-) děkuju oběma za pomoc :-)

Matematické Fórum

#1 28. 02. 2012 15:16

Globální extrémy

#2 28. 02. 2012 15:28 — Editoval jardofpr (28. 02. 2012 15:30)

Re: Globální extrémy

#3 28. 02. 2012 15:34 — Editoval Rumburak (28. 02. 2012 15:36)

Re: Globální extrémy

#4 28. 02. 2012 15:49

Re: Globální extrémy

#5 28. 02. 2012 15:54 — Editoval jardofpr (28. 02. 2012 16:04)

Re: Globální extrémy

#6 28. 02. 2012 16:05 — Editoval zuzik1 (28. 02. 2012 16:08)

Re: Globální extrémy

#7 28. 02. 2012 16:09 — Editoval jardofpr (28. 02. 2012 16:10)

Re: Globální extrémy

#8 28. 02. 2012 16:15

Re: Globální extrémy

#9 28. 02. 2012 16:17 — Editoval Rumburak (28. 02. 2012 16:20)

Re: Globální extrémy

#10 28. 02. 2012 16:19 — Editoval jardofpr (28. 02. 2012 16:22)

Re: Globální extrémy

#11 28. 02. 2012 16:32 — Editoval zuzik1 (28. 02. 2012 16:34)

Re: Globální extrémy

#12 28. 02. 2012 16:52

Re: Globální extrémy

#13 28. 02. 2012 17:13

Re: Globální extrémy

#14 28. 02. 2012 17:22

Re: Globální extrémy

#15 29. 02. 2012 09:56

Re: Globální extrémy

#16 29. 02. 2012 12:28

Re: Globální extrémy

Zápatí