Matematické Fórum

Mepho · 29. 02. 2012 12:51

V rámci setu domácich úloh na derivácie som dostal túto s ktorou si neviem rady:

Na grafu funkce najděte bod, který má nejkratší vzdálenost od bodu $A = [1, \frac{3}{2}]$ a najděte tuto vzdálenost. Řešte jako úlohu na extrém.

Graf funkcie si viem načrtnúť, ale sposob akým to vypočítať sa mi nepodarilo násť.

Pomohol by mi s tým niekto, prosím?

vanok · 29. 02. 2012 13:28 — Editoval vanok (29. 02. 2012 13:30)

↑ Mepho:
najdi vseobecnu rovnicu normaly, tvojej funkcie v nejakom bode
a potom vyjadri ze tvoj bod A je na nejakej z nich,

Ina myslienka, jedna kruznuca "z rodiny kruznic" zo stredom v A, je pri urcitom polomere dotycnica na graf tvojej funkcie....najdi ju

Rumburak

Existuje více způsobů, jak úlohu řešit. Máme-li ji řešit jako úlohu na extrém, potom:
Obecný bod M ležící na grafu funkce f je určen svojí x-ovou souřadnici, neboť $M = M(x)= [x, x^2 - x], x \in \mathbb{R}$ , takže jeho vzdálenost
$\rho(M, A)$ od daného bodu A je možno zároveň vyjádřit jako funkci proměnné x . Úkolem je nalézt minimum této funkce (pokud existuje) a bod M,
v němž je minima (případně) dosaženo.

Technická poznámka: funkce $\rho(M(x), A) \ge 0$ obsahuje druhou odmocninu, což je pro výpočet poněkud nepohodlné. Můžeme se tomu vyhnout tím,
že místo ní budeme pracovat s funkcí $\rho^2(M(x), A)$ , protože platí ekvivalence

$\rho(M_1, A) < \rho(M_2, A) \Leftrightarrow \rho^2(M_1, A) < \rho^2(M_2, A)$ .

vanok · 29. 02. 2012 13:58

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Ano mas uplne pravdu, ja som dal do popredia geometricky aspekt cvicenia. Je jasne ze moja druha metoda, je vlaste ta ista ako tvoja. A tak ci tak vo vsetkych navhoch bude treba minimalizovat

Honzc · 29. 02. 2012 14:24 — Editoval Honzc (29. 02. 2012 14:30)

↑ vanok:
Tady jsem to nakreslil (kontrola výsledku)
Až se dopracuješ ke kubické rovnici $4x^{3}-6x^{2}-2x+1=0$
tak věz, že kořeny jsou $-\frac{1}{2},1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Matematické Fórum

#1 29. 02. 2012 12:51

Bod funkce v ktorom je vzdialenost ot zadaneho bodu najkratsia

#2 29. 02. 2012 13:28 — Editoval vanok (29. 02. 2012 13:30)

Re: Bod funkce v ktorom je vzdialenost ot zadaneho bodu najkratsia

#3 29. 02. 2012 13:45 — Editoval Rumburak (29. 02. 2012 14:00)

Re: Bod funkce v ktorom je vzdialenost ot zadaneho bodu najkratsia

#4 29. 02. 2012 13:58

Re: Bod funkce v ktorom je vzdialenost ot zadaneho bodu najkratsia

#5 29. 02. 2012 14:24 — Editoval Honzc (29. 02. 2012 14:30)

Re: Bod funkce v ktorom je vzdialenost ot zadaneho bodu najkratsia

Zápatí