Matematické Fórum

regis · 08. 10. 2008 11:25 — Editoval regis (08. 10. 2008 11:27)

Ahoj, toto je můj první post - otázka, tak doufám, že to bude alespon' k neutrhnutí hlavy :)

Na začátku semestru jsme dostali úkol, doba odevzdání již minula a moje řešení nebylo přijato jako správné - což jsem čekal, protože to byl spíš bláznivý pokus.

Zadání i můj následný pokus o vyřešení je k náhledu ZDE.

Ocením i to, pokud mi napíšete, že Vás to upřímně rozesmálo, učení má být zábava ne? :)
Za jakékoliv příspěvky děkuji a těším se v dalších tématech nashledanou.

PS: je tam pár slovních nedokonalostí, ale to snad odpustíte, vím o nich.

Lishaak · 08. 10. 2008 12:52

Popravde receno, ve chvili, kdy se v reseni zacalo hovorit o kladnych a zapornych nulach jsem uz jaksi nedokazal udrzet pozornost, cili k tvemu reseni nemam jineho komentare nez toho, ze nula je jen jedna a ta nema zadne znamenko.

Ale pokud mas jeste chut nad timto problemem popremyslet a chces trochu netuknout, jak by se na to mohlo jit, tak dam jen takovou malou napovadu:

Harmonická řada.

Pokud nevis co to je, zkus zagooglit popripade pohledat na wikipedii. Urcite uz pak na reseni prijdes.

Marian · 08. 10. 2008 14:05

↑ Lishaak:

Proč ale chodit pro harmonickou řadu, když můžeme položit $s_n:=n$ pro všechna přirozená čísla n. Pak totiž snadno
$s_n-s_{n-1}=n-(n-1)=1.$

Posloupnost $\{ s_n\}_{n=1}^{\infty}$ splňuje jistě podmínky zadání.

Pavel · 08. 10. 2008 15:23 — Editoval Pavel (08. 10. 2008 15:24)

↑ Marian:

Tvůj rozdíl $s_n-s_{n-1}$ sice konverguje, ale ne k 0, jak bylo požadováno.

↑ regis:

Co tak definovat $s_n:=\ln n$ . Pak

$\lim_{n\to\infty}s_n=\infty$

a

$\lim_{n\to\infty}s_n-s_{n-1}=\lim_{n\to\infty}\ln n-\ln (n-1)=\lim_{n\to\infty}\ln(1+\frac 1{n-1})=\ln 1=0.$

musixx · 08. 10. 2008 15:25

Az mi to ani prsty na klavesnici nechteji psat, ale nesekl se ted nahodou Marian? :-))

Rekl bych, ze mame trosku gulas ve znaceni. Napisi zadani:

Pokuste se najit priklad posloupnosti, ktera diverguje, ale rozdil clenu $s_n-s_{n-1}$ konverguje k nule.

Predpokladam, ze vsichni vime, jaky je rozdil mezi konvergenci posloupnosti a konvergenci rady!

Zarazi me znaceni. Jako $s_n$ se znacivavaji castecne soucty rady.

Takze bych to videl na dve mozne interpretace:

Za prve, mame najit posloupnost $\{s_n\}_{n=1}^\infty$ , ktera diverguje, ale $s_n-s_{n-1}$ konverguje k nule.

Tak tady tu divergenci muzeme udelat jen tak, ze posloupnost pujde do nekonecna (na oscilaci to nevidim). A jak popostrcil Lishaak, vezmene treba castecne soucty harmonicke rady, tedy polozme
$s_n=\sum_{i=1}^n\frac1i$ .
Takto utvorena posloupnost diverguje (vzdyt harmonicka rada diverguje, coz predpokladame za vstupni znalost), ale $s_n-s_{n-1}=\frac1n$ jde k nule pro velka n.

Druha moznost je, ze v zadani se jako $s_n$ uz oznacuji castecne soucty. Pak vlastne mame najit posloupnost $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ , ktera diverguje, ale pro
$s_n=\sum_{i=1}^nf_i$
plati, ze $\lim_{n\to\infty}s_n-s_{n-1}$ je nula. Jenze $s_n-s_{n-1}=f_n$ , a tedy nase posloupnost konverguje k nule (ne tak samozrejme rada $f_1+f_2+\cdots$ , ta muze klidne divergovat).

Pavel · 08. 10. 2008 15:35

↑ musixx:

Řešil jsem stejné dilema, pak jsem si přečetl název příspěvku a zdalo se mi to jasné - "Posloupnost jež diverguje, ale rozdíl členů po sobě jdoucíh konverguje".

Marian · 08. 10. 2008 15:52

↑ Pavel:

Samozřejmě jsem v rychlosti před výukou nedočetl zadání do konce. Budu příště pozornější.

musixx · 08. 10. 2008 16:48

↑ Pavel: Kdyz uz jsme u dilemat: jsme urcite v uplnem metrickem prostoru? Protoze jinak nam to poskytuje i jina mozna pomerne zajimava reseni...

Matematické Fórum

#1 08. 10. 2008 11:25 — Editoval regis (08. 10. 2008 11:27)

Posloupnost jež diverguje, ale rozdíl členů po sobě jdoucíh konverguje

#2 08. 10. 2008 12:52

Re: Posloupnost jež diverguje, ale rozdíl členů po sobě jdoucíh konverguje

#3 08. 10. 2008 14:05

Re: Posloupnost jež diverguje, ale rozdíl členů po sobě jdoucíh konverguje

#4 08. 10. 2008 15:23 — Editoval Pavel (08. 10. 2008 15:24)

Re: Posloupnost jež diverguje, ale rozdíl členů po sobě jdoucíh konverguje

#5 08. 10. 2008 15:25

Re: Posloupnost jež diverguje, ale rozdíl členů po sobě jdoucíh konverguje

#6 08. 10. 2008 15:35

Re: Posloupnost jež diverguje, ale rozdíl členů po sobě jdoucíh konverguje

#7 08. 10. 2008 15:52

Re: Posloupnost jež diverguje, ale rozdíl členů po sobě jdoucíh konverguje

#8 08. 10. 2008 16:48

Re: Posloupnost jež diverguje, ale rozdíl členů po sobě jdoucíh konverguje

Zápatí