Matematické Fórum

bella · 01. 03. 2012 10:40

Co znamena ak je funkcia absolutne integrovatelna?

a poradilo by ste priklad, ktora funkcia nie je a preco

dakujem

kaja.marik · 01. 03. 2012 11:12

Je to u nevlastnich integralu? integral z absolutni hodnoty konverguje?

bella · 01. 03. 2012 11:25

patri to k fubiniovej vete..tam je predpoklad, ze funkcia musi byt spojita a absolutne integrovatelna.

Rumburak

Na tento termín jsem nenarazil, ale snad by to mohlo znamenat absolutní konvergenci integrálu:

O (konvergujícím) integrálu $\int_M f$ říkáme, že konverguje absolutně, právě když konverguje též $\int_M |f|$ .

Že integrál konverguje znamená, že má konečnou hodnotu. Příkladem Newtonova integrálu, který je konvergentní, ne však absolutně, je
$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x$ .

U integrálu dle Riemannovy nebo Lebesguevy definice je každý konvergentní integrál zároveň absolutně konvergentní.

Principiálně je to obdobné jako s konvergencí (absolutní či neabsolutní) u řad.

bella · 01. 03. 2012 12:00

a preco nekonverguje absolutne?

Rumburak

↑ bella:

$I := \int_{0}^{+\infty}\left|\frac{\sin x}{x}\right|\,\mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{\infty}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin x|}{x}\,\mathrm{d}x$

Na každém z intervalů $[k\pi , (k+1)\pi]$ je $|\sin x| \ge g_k(x) \ge 0$ , kde

$g_k(x) := \begin{cases}\frac {2(x - k\pi)}{\pi} , x \in \left[k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}\right] ,\\ \frac {2((k+1)\pi -x)}{\pi} , x \in \left((k\pi + \frac{\pi}{2}, (k+1)\pi\right] \end{cases}$ .

Tento odhad použijeme k důkazu, že $I = +\infty$ (viz též divergence harmonické řady).

Naproti tomu integrál $J := \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x$ má konečnou hodnotu , což se dá, myslím, dokázat pomocí II. věty o střední hodnotě int. počtu.