Matematické Fórum

Supernatural1 · 05. 10. 2008 16:59

Prosím Vás o pomoc s následujícími slovními úlohami o nejmenším společném násobku.

1) Určete nejmenší počet cvičenců, o nichž víte, že nastoupí-li do dvojstupu, trojstupu, čtyřstupu, pětistupu, šestistupu, bude vždy jeden cvičenec chybět do úplného (obdélníkového) tvaru.

2) Na fotbalový zápas přišlo příbližně 10 000 diváků. Určete přisný počet diváků, víte-li, že o něm jeden malý matematik prohlásil:
Když vydělím počet diváků deseti, dostanu zbytek 9, při dělení devíti dostanu zbytek 8 atd., až při dělení dvěma dostanu zbytek 1.

Předem děkuju.

musixx · 06. 10. 2008 14:43

Priklad prvni: mame-li k dispozici kongruence (tj. znas-li je) a zakladni pravidla pro pocitani s nimi, pak je to jednoducha aplikace: Cely priklad totiz rika, ze hledame takove x, aby (vsechno probiha v celych cislech):

$x\equiv-1({\rm mod}\ 2)$
$x\equiv-1({\rm mod}\ 3)$
$x\equiv-1({\rm mod}\ 4)$
$x\equiv-1({\rm mod}\ 5)$
$x\equiv-1({\rm mod}\ 6)$

Kdyz takova kongruence plati modulo 6, tak take jiste plati modulo 2 a 3, tedy staci vzit

$x\equiv-1({\rm mod}\ 4)$
$x\equiv-1({\rm mod}\ 5)$
$x\equiv-1({\rm mod}\ 6)$

Z posledni mame, ze $x=-1+6k$ , dosazeno do predposledni mame ze

$-1+6k\equiv-1({\rm mod}\ 5)$ ,
coz je
$k\equiv0({\rm mod}\ 5)$ ,
tedy $k=5l$ , coz dava $x=-1+6k=-1+30l$ .

Dale dosadime do prvni:

$-1+30l\equiv-1({\rm mod}\ 4)$ ,
coz je
$15l\equiv0({\rm mod}\ 2)$ ,
neboli
$l\equiv0({\rm mod}\ 2)$ ,
tedy $l=2m$ , coz dava $x=-1+30l=-1+60m$ .

Kongruence uz musi platit modulo 2 a 3 (to jsme si rozmysleli uz na zacatku). Jake je nejmensi (predpokladam nezaporne) cislo x tvaru -1+60m? No 59.

Poznamka: Cely vypocet jsem udelal hodne "otrocky", i kdyz slo vyuzit toho, ze jde o stejne kongruence, jen podle ruznych modulu. V principu se postupuje tak, ze se dosazuje postupne "od nejvetsiho modulu". Pomohl jsem?

Priklad druhy. Jde o soustavu kongruenci
$x\equiv9\equiv-1({\rm mod}\ 10)$
$x\equiv8\equiv-1({\rm mod}\ 9)$
az
$x\equiv2\equiv-1({\rm mod}\ 3)$
$x\equiv1\equiv-1({\rm mod}\ 2)$ .

Tedy opet jde o stejnou kongruenci $x\equiv-1$ podle modulu 2 az 10. Resenim je
$x\equiv-1({\rm mod}\ {\rm NSN}(2,3,4,5,6,7,8,9,10))$ ,
tedy $x=-1+k\cdot {\rm NSN}(2,3,4,5,6,7,8,9,10)$ . Nejmensi spolecny nasobek cisel 2 az 10 je 2520, jestli pocitam spravne. Nejblizsi x k 10 000 pak dostaneme pro k=4, tedy na zapase bylo 10 079 lidi.

musixx · 06. 10. 2008 14:52 — Editoval musixx (06. 10. 2008 14:54)

Pokud kongruence k dispozici nemame, mame jedine stesti, a to ze jsou tam vsude ty stejne minus jednicky...

Prvni ulohu si totiz mohu predstavit tak, ze hledam x splnujici:

$x=2k_2-1$
$x=3k_3-1$
$x=4k_4-1$
$x=5k_5-1$
$x=6k_6-1$

(vse jsou cela cisla). Kdyz tohle ma splnovat x, tak co asi tak splnuje x+1? No preci

$x+1=2k_2$
$x+1=3k_3$
$x+1=4k_4$
$x+1=5k_5$
$x+1=6k_6$

Neboli x+1 je delitelne 2, 3, 4, 5, 6, tedy je delitelne i jejich nejmensim spolecnym nasobkem, a to 60. Tedy muzeme psat

$x+1=60k$
odkud
$x=-1+60k$ .

Stejne tak druha uloha (opet x+1 bude delitelne vsemi cisly od 2 do 10, tedy i jejich NSN).