Matematické Fórum

FliegenderZirkus

Následující soustava těles má dva stupně volnosti, potřebuji tedy vyjádřit vztah mezi úhly $\varphi, \vartheta,\psi$ (všechny jsou absolutní).
Obrázek:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Podle vzorového řešení platí tento vztah: $R(\psi-\vartheta)=r(\varphi-\vartheta)$ . Nějakým způsobem jsem se k němu dopracoval, ale velmi nesystematicky, neznáte nějaký kouzelný postup, jak vztah odvodit? Je jasné, že základní úvahou je: „co se odvalí na malé kružnici, odvalí se i na velké“ (valení je bez prokluzu), ale hrozně jsem se do toho zamotal. Jak by se pak postupovalo v případě, že se valí např. malá kružnice po velké elipse? Nejspíš by se musel v každém bodě najít poloměr křivosti, že? Díky za tipy

zpsi · 02. 03. 2012 14:42

Ahoj, jsi si jist že je ten vztah správně? Mi se zdá, že by spíše mělo platit:
$R(\psi-\vartheta)=r(\varphi-\frac{R}{r}\vartheta)$

FliegenderZirkus · 02. 03. 2012 18:10

↑ zpsi:

Zkus napsat svůj postup, uvidíme, ačkoli zdroj považuju za vysoce důvěryhodný.

Když uvežujeme zvláštní případ, kdy budu vnější trubku držet např. v pozici $\psi=0$ , mělo by myslím vyjít $R\vartheta=r(\vartheta-\varphi)$ , což tvému řešení neodpovídá.

zpsi · 02. 03. 2012 19:02

Když se velké kolo otočí o úhel $\psi-\vartheta$ , otoči se malé kolo o úhel $(\psi-\vartheta)\frac{R}{r}$ . Zároveň ale musí platit $R\psi=r\varphi$ (platí z rovnosti obvodů a nastalo by tehdy, když $\vartheta=0$ ).
Odtud již rychle: $R(\psi-\vartheta)=r(\varphi-\frac{R}{r}\vartheta)$

FliegenderZirkus · 02. 03. 2012 22:51

↑ zpsi:

Musím se přiznat, že tvému postupu nerozumím. Pomohlo by najít nějaké podrobné odvození rovnice hypocykloidy, ale našel jsem jen toto na MathWorld, kde je pro mě důležitý začátek bez postupu.

Matematické Fórum

#1 02. 03. 2012 13:41 — Editoval FliegenderZirkus (02. 03. 2012 13:41)

Valení

#2 02. 03. 2012 14:42

Re: Valení

#3 02. 03. 2012 18:10

Re: Valení

#4 02. 03. 2012 19:02

Re: Valení

#5 02. 03. 2012 22:51

Re: Valení

Zápatí