Matematické Fórum

roman.cz · 02. 03. 2012 15:40

Kolik je počet řešení gon. rovnice
$sin2x=(cosx-sinx)^{2}$
v intervalu $(0,6\pi )$

Můj postup:
levou stranu jsem rozepsal podle vzorce, a pravou umocnil :

$2sinx*cosx=cos^{2}x-2sinx*cosx+sin^{2}x$

použil jsem $cos^{2}x*sin^{2}x=1$ a po úpravě dostal :
$4sinx*cosx=1$
$sinx*cosx=\frac{1}{4}$

A tady jsem skončil, jelikož by mi vycházelo, že sinx i cosx musí být $\frac{1}{2}$ . A to tuším že nelze.

Rumburak

Na levou stranu rovnice $4\sin x\,\cos x=1$ použij vzorec pro sin2x (opačným směrem než prve).

PS. Z rovnice $\sin x\,\cos x=\frac{1}{4}$ neplyne, že by muselo být $\sin x = \cos x$ .
Mohli bychom ji řešit i substitucí $\sin x = u, \cos x = v$ s přidáním druhé rovnice $u^2 + v^2 = 1$ . Ale předchozí postup je výhodnější.

roman.cz · 02. 03. 2012 19:15

Pak tedy dostanu
$sin2x=\frac{1}{2}$
to je:
$2x=\frac{\pi }{6}+k\pi$

nebo-li
$x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$

z čehož vyplívá, že to má kolik řešení? ( omlouvám se za neschopnost :) )